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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Potenzgesetze

Mathe

8. Dez. 2025

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Potenzfunktionen und ihre Regeln

M

Mona @mona_grxmx

Potenzfunktionen und Potenzgesetze sind fundamentale Werkzeuge der Mathematik, die dir in der Oberstufe ständig begegnen werden. Diese Regeln... Mehr anzeigen

# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^

Potenzgesetze - Die wichtigsten Rechenregeln

Potenzgesetze sind wie ein Werkzeugkasten für alle Rechnungen mit Potenzen. Mit diesen acht Grundregeln kannst du praktisch jeden Term vereinfachen.

Die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis ist super einfach am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} - du addierst einfach die Exponenten. Bei der Division subtrahierst du sie aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.

Besonders praktisch sind die Regeln für Wurzeln amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} und a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}. Damit kannst du Wurzelterme viel leichter bearbeiten.

Tipp Merke dir a0=1a^0 = 1 und a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} - diese beiden Regeln brauchst du ständig!

# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^

Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen haben die Form f(x)=xnf(x) = x^n und verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Das Verständnis ihrer Eigenschaften macht Kurvendiskussionen später viel einfacher.

Bei ungeraden Exponenten wie $x^3, x^5$ verlaufen die Graphen von links unten nach rechts oben durch den Ursprung. Sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung und haben weder größten noch kleinsten Wert.

Gerade Exponenten wie $x^2, x^4$ erzeugen U-förmige Graphen, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Der Ursprung ist hier der tiefste Punkt.

Negative Exponenten führen zu Hyperbeln mit einer Definitionslücke bei x=0x = 0. Je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade ist, sind sie achsen- oder punktsymmetrisch.

Merkhilfe Alle Graphen gehen durch die Punkte (1|1) und (-1|1) bzw. (-1|-1) - das hilft beim Zeichnen!

# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^

Parameter bestimmen und rechnen

Um Parameter in Potenzfunktionen zu finden, nutzt du die Punktprobe - das ist wie Rätsel lösen mit Mathematik! Du setzt gegebene Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Bei f(x)=a⋅xnf(x) = a \cdot x^n bestimmst du zuerst aa mit einem einfachen Punkt wie (1|0,5), dann nn mit einem zweiten Punkt. Das systematische Vorgehen führt dich sicher zum Ziel.

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben die Form f(x)=a⋅x−nf(x) = a \cdot x^{-n} und eine Definitionslücke bei x=0x = 0. Sie beschreiben Hyperbeln und kommen in der Physik oft vor.

Das Prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, machst du durch einfaches Einsetzen Stimmt der berechnete y-Wert mit dem gegebenen überein, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Praxis-Tipp Rechne immer systematisch - erst Parameter aa, dann nn. So vermeidest du Fehler!

# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^

Wurzelfunktionen und Transformationen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}. Sie sind nur für x≥0x \geq 0 definiert und steigen langsamer als lineare Funktionen.

Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln Graphen. Mit g(x)=f(x)+dg(x) = f(x) + d verschiebst du um dd nach oben, mit h(x)=f(x−c)h(x) = f(x-c) um cc nach rechts.

Der Streckfaktor aa in i(x)=a⋅f(x)i(x) = a \cdot f(x) verändert die Steigung. Ist aa negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Diese Transformationen kannst du kombinieren f(x)=2x−2+1f(x) = 2\sqrt{x-2} + 1 verschiebt x\sqrt{x} um 2 nach rechts, streckt mit Faktor 2 und verschiebt um 1 nach oben.

Visualisierung Zeichne dir die Grundfunktion und wende dann Schritt für Schritt die Transformationen an!

# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^

Potenzgleichungen lösen

Potenzgleichungen der Form xn=ax^n = a löst du durch Ziehen der n-ten Wurzel. Dabei musst du zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden.

Bei geraden Exponenten und a>0a > 0 erhältst du zwei Lösungen x1,2=±anx_{1,2} = \pm\sqrt[n]{a}. Bei a<0a < 0 gibt es keine Lösung, da gerade Potenzen nie negativ werden können.

Ungerade Exponenten liefern immer genau eine Lösung x=anx = \sqrt[n]{a}. Ist aa negativ, verwendest du x=−−anx = -\sqrt[n]{-a}.

Gleichungen wie 16x2=1\frac{16}{x^2} = 1 löst du durch Umformen Multipliziere mit x2x^2, dann durch 16 teilen und die Wurzel ziehen. So kommst du auf x1,2=±14x_{1,2} = \pm\frac{1}{4}.

Kontroll-Tipp Setze deine Lösung immer in die ursprüngliche Gleichung ein - so erkennst du Rechenfehler sofort!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Potenzgleichungen lösen

Potenzgleichungen der Form xn=ax^n = a löst du durch Ziehen der n-ten Wurzel. Dabei musst du zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden.

Bei geraden Exponenten und a>0a > 0 erhältst du zwei Lösungen: x1,2=±anx_{1,2} = \pm\sqrt[n]{a}. Bei a<0a < 0 gibt es keine Lösung, da gerade Potenzen nie negativ werden können.

Ungerade Exponenten liefern immer genau eine Lösung: x=anx = \sqrt[n]{a}. Ist aa negativ, verwendest du x=−−anx = -\sqrt[n]{-a}.

Gleichungen wie 16x2=1\frac{16}{x^2} = 1 löst du durch Umformen: Multipliziere mit x2x^2, dann durch 16 teilen und die Wurzel ziehen. So kommst du auf x1,2=±14x_{1,2} = \pm\frac{1}{4}.

Kontroll-Tipp: Setze deine Lösung immer in die ursprüngliche Gleichung ein - so erkennst du Rechenfehler sofort!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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