Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Potenzgesetze

2.286

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29. Dez. 2025

•

5 Seiten

Potenzfunktionen und ihre Regeln

Mona

@mona_grxmx

Potenzfunktionen und Potenzgesetze sind fundamentale Werkzeuge der Mathematik, die dir... Mehr anzeigen

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$# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^$

Potenzgesetze - Die wichtigsten Rechenregeln

Potenzgesetze sind wie ein Werkzeugkasten für alle Rechnungen mit Potenzen. Mit diesen acht Grundregeln kannst du praktisch jeden Term vereinfachen.

Die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis ist super einfach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - du addierst einfach die Exponenten. Bei der Division subtrahierst du sie: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .

Besonders praktisch sind die Regeln für Wurzeln: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ und $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ . Damit kannst du Wurzelterme viel leichter bearbeiten.

Tipp: Merke dir $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ - diese beiden Regeln brauchst du ständig!

$# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^$

Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen haben die Form $f(x) = x^n$ und verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Das Verständnis ihrer Eigenschaften macht Kurvendiskussionen später viel einfacher.

Bei ungeraden Exponenten $wie $x^3, x^5$$ verlaufen die Graphen von links unten nach rechts oben durch den Ursprung. Sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung und haben weder größten noch kleinsten Wert.

Gerade Exponenten $wie $x^2, x^4$$ erzeugen U-förmige Graphen, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Der Ursprung ist hier der tiefste Punkt.

Negative Exponenten führen zu Hyperbeln mit einer Definitionslücke bei $x = 0$ . Je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade ist, sind sie achsen- oder punktsymmetrisch.

Merkhilfe: Alle Graphen gehen durch die Punkte (1|1) und (-1|1) bzw. (-1|-1) - das hilft beim Zeichnen!

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Parameter bestimmen und rechnen

Um Parameter in Potenzfunktionen zu finden, nutzt du die Punktprobe - das ist wie Rätsel lösen mit Mathematik! Du setzt gegebene Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Bei $f(x) = a \cdot x^n$ bestimmst du zuerst $a$ mit einem einfachen Punkt wie (1|0,5), dann $n$ mit einem zweiten Punkt. Das systematische Vorgehen führt dich sicher zum Ziel.

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben die Form $f(x) = a \cdot x^{-n}$ und eine Definitionslücke bei $x = 0$ . Sie beschreiben Hyperbeln und kommen in der Physik oft vor.

Das Prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, machst du durch einfaches Einsetzen: Stimmt der berechnete y-Wert mit dem gegebenen überein, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Praxis-Tipp: Rechne immer systematisch - erst Parameter $a$ , dann $n$ . So vermeidest du Fehler!

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Wurzelfunktionen und Transformationen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ . Sie sind nur für $x \geq 0$ definiert und steigen langsamer als lineare Funktionen.

Transformationen verschieben, strecken oder spiegeln Graphen. Mit $g(x) = f(x) + d$ verschiebst du um $d$ nach oben, mit $h(x) = f(x-c)$ um $c$ nach rechts.

Der Streckfaktor $a$ in $i(x) = a \cdot f(x)$ verändert die Steigung. Ist $a$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Diese Transformationen kannst du kombinieren: $f(x) = 2\sqrt{x-2} + 1$ verschiebt $\sqrt{x}$ um 2 nach rechts, streckt mit Faktor 2 und verschiebt um 1 nach oben.

Visualisierung: Zeichne dir die Grundfunktion und wende dann Schritt für Schritt die Transformationen an!

$# Potenzgesetze $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^$

Potenzgleichungen lösen

Potenzgleichungen der Form $x^n = a$ löst du durch Ziehen der n-ten Wurzel. Dabei musst du zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden.

Bei geraden Exponenten und $a > 0$ erhältst du zwei Lösungen: $x_{1,2} = \pm\sqrt[n]{a}$ . Bei $a < 0$ gibt es keine Lösung, da gerade Potenzen nie negativ werden können.

Ungerade Exponenten liefern immer genau eine Lösung: $x = \sqrt[n]{a}$ . Ist $a$ negativ, verwendest du $x = -\sqrt[n]{-a}$ .

Gleichungen wie $\frac{16}{x^2} = 1$ löst du durch Umformen: Multipliziere mit $x^2$ , dann durch 16 teilen und die Wurzel ziehen. So kommst du auf $x_{1,2} = \pm\frac{1}{4}$ .

Kontroll-Tipp: Setze deine Lösung immer in die ursprüngliche Gleichung ein - so erkennst du Rechenfehler sofort!

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