Potenzgesetze - Dein Werkzeugkasten

Die Potenzgesetze sind deine Grundausstattung für alle Rechnungen mit Potenzfunktionen. Wenn du diese drauf hast, läuft der Rest fast von allein!

Die wichtigsten Regeln: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (gleiche Basis: Exponenten addieren) und $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (gleiche Basis: Exponenten subtrahieren). Bei $(a^m)^n = a^{mn}$ multiplizierst du die Exponenten einfach.

Besonders praktisch sind die Spezialfälle: $a^0 = 1$ (jede Zahl hoch null ist eins) und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (negative Exponenten werden zu Brüchen). Diese Regeln sparst du dir viel Zeit beim Vereinfachen von Termen.

Merktipp: Übe die Potenzgesetze so lange, bis sie automatisch funktionieren - sie sind das Fundament für alles Weitere!

Wiederholung: Quadratische und lineare Funktionen

Bevor wir zu neuen Potenzfunktionen kommen, schnell die Basics wiederholt! Die Normalparabel $f(x) = x^2$ hat ihren Scheitelpunkt bei S(0|0) und ist achsensymmetrisch.

In der Scheitelform $f(x) = a(x-x_s)^2 + y_s$ erkennst du sofort alle Eigenschaften: Bei $a > 0$ öffnet sich die Parabel nach oben, bei $a < 0$ nach unten. Der Faktor $|a|$ bestimmt, ob sie gestreckt oder gestaucht ist.

Lineare Funktionen haben die Form $f(x) = mx + b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt. Positive Steigung bedeutet: nach rechts oben, negative Steigung: nach rechts unten.

Klausurtipp: Diese Grundformen solltest du im Schlaf beherrschen - sie helfen dir beim Verstehen aller anderen Potenzfunktionen!

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Jetzt wird's spannend! Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zeigen völlig unterschiedliche Verhalten, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

Bei geraden Exponenten sind alle Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie laufen durch die Punkte (0|0), (1|1) und (-1|1). Je größer der Exponent, desto steiler wird die Kurve für Werte außerhalb von [-1,1] und desto flacher verläuft sie dazwischen.

Ungerade Exponenten erzeugen punktsymmetrische Graphen zum Ursprung. Diese verlaufen durch (0|0), (1|1) und (-1|-1). Wichtig: Diese Funktionen steigen überall! Du erkennst die Symmetrie daran, dass $f(-x) = -f(x)$ gilt.

Die Definitionsmenge ist normalerweise $\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen). Du solltest auch die Zahlenmengen $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ sicher unterscheiden können.

Verstehens-Trick: Zeichne dir die ersten paar Potenzfunktionen selbst - dann siehst du die Muster sofort!

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Negative Exponenten bringen Asymptoten ins Spiel - die Graphen nähern sich bestimmten Linien an, ohne sie zu berühren! Das macht diese Funktionen besonders interessant.

Bei geraden negativen Exponenten hast du wieder Achsensymmetrie zur y-Achse. Alle Graphen gehen durch (1|1) und (-1|1), steigen für $x < 0$ und fallen für $x > 0$. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote, die x-Achse eine waagerechte.

Ungerade negative Exponenten erzeugen Punktsymmetrie zum Ursprung. Diese Graphen fallen sowohl für $x < 0$ als auch für $x > 0$. Sie verlaufen durch (1|1) und (-1|-1).

Die Definitionsmenge ist hier $\mathbb{R} \setminus {0}$ - also alle reellen Zahlen außer null, weil durch null nicht geteilt werden darf.

Achtung: Bei negativen Exponenten ist x = 0 nie im Definitionsbereich - das vergisst man leicht!

Potenzfunktionen mit Bruchexponenten und Transformationen

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit Bruchexponenten! $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ist die bekannteste davon. Bei positiven Bruchexponenten unter 1 entstehen rechtsgekrümmte Kurven, bei Exponenten über 1 linksgekrümmte.

Negative Bruchexponenten haben wieder Asymptoten: Die y-Achse ist senkrechte Asymptote, die x-Achse waagerechte Asymptote. Alle gehen durch den Punkt (1|1).

Transformationen funktionieren wie bei quadratischen Funktionen: $f(x) = (x + d)^n + e$ verschiebt den Graphen um $d$ Einheiten horizontal und $e$ Einheiten vertikal. Bei $d > 0$ geht's nach links, bei $e > 0$ nach oben.

Der Faktor $a$ in $f(x) = ax^n$ streckt oder staucht den Graphen. Negative Faktoren spiegeln zusätzlich an der x-Achse.

Praxis-Tipp: Bestimme immer erst die Grundfunktion und dann die Transformationen - so behältst du den Überblick!

Überlagerung von Funktionsgraphen

Funktionen addieren bedeutet: An jeder x-Stelle addierst du die y-Werte! Bei $f(x) = g(x) + h(x)$ nimmst du den Funktionswert von g und addierst den von h dazu.

Ein cleverer Trick: Wenn einer der Graphen eine Nullstelle hat, schneidet der addierte Graph f dort den anderen Ausgangsgraphen. Das hilft dir beim Skizzieren enorm!

Die grafische Addition funktioniert am besten, wenn du dir charakteristische Punkte aussuchst und dort die Werte addierst. Besonders einfach wird's bei Nullstellen, Extrempunkten oder markanten Stellen.

Zeichentrick: Markiere dir zuerst die Nullstellen beider Funktionen - dort siehst du sofort, wo sich die Graphen treffen!