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Isa
19.11.2025
Mathe
Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen
1.292
•
19. Nov. 2025
•
Isa
@isa.study
Potenzfunktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das du... Mehr anzeigen
Potenzfunktionen der Form f(x) = x^n begegnen dir überall in der Mathematik. Je nachdem, ob der Exponent positiv oder negativ, gerade oder ungerade ist, verhalten sich diese Funktionen völlig unterschiedlich.
Bei positiven Exponenten unterscheidest du zwischen geraden (x², x⁴, x⁶...) und ungeraden (x, x³, x⁵...) Exponenten. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse und verlaufen durch die Quadranten 1 und 2. Ungerade Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung und verlaufen durch die Quadranten 1 und 3.
Negative Exponenten (wie x⁻², x⁻¹) haben eine wichtige Besonderheit: Sie haben eine Definitionslücke bei x = 0. Das bedeutet, du kannst niemals x = 0 einsetzen, weil die Funktion dort nicht definiert ist. Diese Funktionen nähern sich den Achsen an, ohne sie jemals zu berühren.
Merktipp: Alle diese Funktionen haben die gemeinsamen Punkte (1|1) und (-1|-1) - das hilft dir beim schnellen Zeichnen!
Die Symmetrieuntersuchung ist ein mächtiges Werkzeug, das dir viel Arbeit erspart. Du testest einfach, ob f = f(x) (achsensymmetrisch) oder f = -f(x) (punktsymmetrisch) ist.
Bei f(x) = x² + x⁴ setzt du -x ein: f = ² + ⁴ = x² + x⁴ = f(x). Das bedeutet achsensymmetrisch! Bei f(x) = ½x + 3x³ erhältst du f = -½x - 3x³ = -f(x), also punktsymmetrisch.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wo eine Funktion steigt oder fällt. Du schaust dir die Bereiche an und beschreibst: "Für x ≤ 0 ist f monoton fallend, für x ≥ 0 ist f monoton steigend." Das ist besonders wichtig, um das Verhalten von Funktionen zu verstehen.
Praxistipp: Zeichne dir immer kleine Pfeile in den Graphen ein - nach oben für steigend, nach unten für fallend!
Ganzrationale Funktionen sind Polynome wie f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion - das ist wichtig für die Anzahl der möglichen Nullstellen.
Für die Nullstellenbestimmung durch Ausklammern suchst du gemeinsame Faktoren. Bei f(x) = ¼x³ - ½x² - 2x klammerst du x aus: x = 0. Das gibt dir sofort eine Nullstelle bei x = 0, und für den Rest verwendest du die p-q-Formel.
Biquadratische Funktionen löst du mit der Substitution z = x². Aus x⁴ - 5x² + 4 = 0 wird z² - 5z + 4 = 0. Nach dem Lösen dieser quadratischen Gleichung rücksubstituierst du: z₁ = 4 → x₁,₂ = ±2 und z₂ = 1 → x₃,₄ = ±1.
Erfolgsgarantie: Mit Ausklammern und Substitution knackst du fast jede Nullstellenaufgabe!
Gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x) = a/ + c sehen kompliziert aus, folgen aber klaren Regeln. Der Parameter c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse, b verschiebt entlang der x-Achse, und a streckt oder staucht.
Bei g(x) = 2/ - 3 erkennst du: Definitionslücke bei x = -1 (da der Nenner null wird), senkrechte Asymptote bei x = -1 und waagerechte Asymptote bei y = -3. Der Graph ist um 1 nach links und um 3 nach unten verschoben.
Für die Wertetabelle nutzt du am besten den Taschenrechner (Menü → 9). Wichtig ist, dass du die Bereiche vor und nach der Definitionslücke getrennt betrachtest, da sich das Verhalten der Funktion dort drastisch ändert.
Visualisierungstrick: Zeichne zuerst die Asymptoten als gestrichelte Linien - sie sind dein Gerüst für den Graphen!
Grenzwerte beschreiben, was mit einer Funktion passiert, wenn x gegen unendlich geht. Du hast zwei Methoden: Testeinsetzung und Termvereinfachung.
Bei der Testeinsetzung setzt du immer größere Werte ein. Für f(x) = /x testest du: f(5) = 2,2, f(500) = 2,002, f(500000) = 2,00002. Du siehst: Der Grenzwert ist 2.
Die Termvereinfachung ist eleganter: Du teilst /x = 2x/x + 1/x = 2 + 1/x. Da 1/x gegen 0 geht für x → ∞, ist der Grenzwert 2 + 0 = 2. Diese Methode funktioniert immer und ist in der Klausur schneller.
Faustregel: lim(x→∞) 1/x = 0 - das ist die wichtigste Grenzwert-Regel überhaupt!
Bei gebrochen-rationalen Funktionen entscheiden die höchsten Exponenten über den Grenzwert. Du hast drei einfache Regeln, die dir jede Aufgabe lösen.
Regel 1: Sind die höchsten Exponenten gleich, bestimmen die Vorfaktoren den Grenzwert. Bei / ist der Grenzwert 3/2, da beide höchste Exponenten x² sind.
Regel 2: Ist der Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0. Bei / dominiert x² im Nenner, also geht alles gegen 0. Regel 3: Ist der Exponent im Zähler größer, geht der Grenzwert gegen ∞. Bei / dominiert x² im Zähler.
Diese drei Regeln funktionieren immer und sparen dir viel Zeit in der Klausur. Du musst nur die höchsten Exponenten vergleichen und schon weißt du die Antwort.
Klausur-Hack: Markiere dir sofort die höchsten Exponenten - dann siehst du auf einen Blick, welche Regel gilt!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Isa
@isa.study
Potenzfunktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik, das du für deine Klausur am 6.12. draufhaben musst. Du lernst hier alles über verschiedene Funktionstypen - von einfachen Potenzfunktionen bis hin zu gebrochen-rationalen Funktionen und ihren besonderen Eigenschaften.
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Potenzfunktionen der Form f(x) = x^n begegnen dir überall in der Mathematik. Je nachdem, ob der Exponent positiv oder negativ, gerade oder ungerade ist, verhalten sich diese Funktionen völlig unterschiedlich.
Bei positiven Exponenten unterscheidest du zwischen geraden (x², x⁴, x⁶...) und ungeraden (x, x³, x⁵...) Exponenten. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse und verlaufen durch die Quadranten 1 und 2. Ungerade Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung und verlaufen durch die Quadranten 1 und 3.
Negative Exponenten (wie x⁻², x⁻¹) haben eine wichtige Besonderheit: Sie haben eine Definitionslücke bei x = 0. Das bedeutet, du kannst niemals x = 0 einsetzen, weil die Funktion dort nicht definiert ist. Diese Funktionen nähern sich den Achsen an, ohne sie jemals zu berühren.
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Die Symmetrieuntersuchung ist ein mächtiges Werkzeug, das dir viel Arbeit erspart. Du testest einfach, ob f = f(x) (achsensymmetrisch) oder f = -f(x) (punktsymmetrisch) ist.
Bei f(x) = x² + x⁴ setzt du -x ein: f = ² + ⁴ = x² + x⁴ = f(x). Das bedeutet achsensymmetrisch! Bei f(x) = ½x + 3x³ erhältst du f = -½x - 3x³ = -f(x), also punktsymmetrisch.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wo eine Funktion steigt oder fällt. Du schaust dir die Bereiche an und beschreibst: "Für x ≤ 0 ist f monoton fallend, für x ≥ 0 ist f monoton steigend." Das ist besonders wichtig, um das Verhalten von Funktionen zu verstehen.
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Für die Nullstellenbestimmung durch Ausklammern suchst du gemeinsame Faktoren. Bei f(x) = ¼x³ - ½x² - 2x klammerst du x aus: x = 0. Das gibt dir sofort eine Nullstelle bei x = 0, und für den Rest verwendest du die p-q-Formel.
Biquadratische Funktionen löst du mit der Substitution z = x². Aus x⁴ - 5x² + 4 = 0 wird z² - 5z + 4 = 0. Nach dem Lösen dieser quadratischen Gleichung rücksubstituierst du: z₁ = 4 → x₁,₂ = ±2 und z₂ = 1 → x₃,₄ = ±1.
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Gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x) = a/ + c sehen kompliziert aus, folgen aber klaren Regeln. Der Parameter c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse, b verschiebt entlang der x-Achse, und a streckt oder staucht.
Bei g(x) = 2/ - 3 erkennst du: Definitionslücke bei x = -1 (da der Nenner null wird), senkrechte Asymptote bei x = -1 und waagerechte Asymptote bei y = -3. Der Graph ist um 1 nach links und um 3 nach unten verschoben.
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Grenzwerte beschreiben, was mit einer Funktion passiert, wenn x gegen unendlich geht. Du hast zwei Methoden: Testeinsetzung und Termvereinfachung.
Bei der Testeinsetzung setzt du immer größere Werte ein. Für f(x) = /x testest du: f(5) = 2,2, f(500) = 2,002, f(500000) = 2,00002. Du siehst: Der Grenzwert ist 2.
Die Termvereinfachung ist eleganter: Du teilst /x = 2x/x + 1/x = 2 + 1/x. Da 1/x gegen 0 geht für x → ∞, ist der Grenzwert 2 + 0 = 2. Diese Methode funktioniert immer und ist in der Klausur schneller.
Faustregel: lim(x→∞) 1/x = 0 - das ist die wichtigste Grenzwert-Regel überhaupt!
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Bei gebrochen-rationalen Funktionen entscheiden die höchsten Exponenten über den Grenzwert. Du hast drei einfache Regeln, die dir jede Aufgabe lösen.
Regel 1: Sind die höchsten Exponenten gleich, bestimmen die Vorfaktoren den Grenzwert. Bei / ist der Grenzwert 3/2, da beide höchste Exponenten x² sind.
Regel 2: Ist der Exponent im Nenner größer, ist der Grenzwert 0. Bei / dominiert x² im Nenner, also geht alles gegen 0. Regel 3: Ist der Exponent im Zähler größer, geht der Grenzwert gegen ∞. Bei / dominiert x² im Zähler.
Diese drei Regeln funktionieren immer und sparen dir viel Zeit in der Klausur. Du musst nur die höchsten Exponenten vergleichen und schon weißt du die Antwort.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia S
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