Potenzgleichungen verstehen und lösen

Potenzgleichungen haben die allgemeine Form x^n = a, wobei n die Hochzahl ist und du x bestimmen musst. Die Anzahl der Lösungen hängt davon ab, ob n gerade oder ungerade ist.

Bei geraden Exponenten $n = 2, 4, 6, ...$ kann es zwei Lösungen, eine Lösung oder gar keine Lösung geben. Wenn a > 0 ist, bekommst du zwei Lösungen (eine positive und eine negative). Bei a = 0 gibt es nur eine Lösung (nämlich x = 0), und bei a < 0 existiert keine reelle Lösung.

Bei ungeraden Exponenten $n = 1, 3, 5, ...$ gibt es immer genau eine Lösung, egal ob a positiv oder negativ ist. Das macht diese Gleichungen viel einfacher zu handhaben.

Merktipp: Gerade Exponenten = möglicherweise zwei Lösungen, ungerade Exponenten = immer eine Lösung!

Beispiel 1: x⁴ = 81 löst du mit der vierten Wurzel: x₁ = 3 und x₂ = -3, da sowohl 3⁴ als auch $-3$⁴ = 81 ergeben. Beispiel 2: x⁵ = 17 hat nur eine Lösung: x = ⁵√17. Beispiel 3: x³ = -8 ergibt x = -2, weil $-2$³ = -8 ist.