Probeklausur Q2: Grundlagen der Analysis und Stochastik (e-Funktionen, Wahrscheinlichkeiten)

Analysis-Grundlagen und Stochastik-Basics

Die erste Aufgabe startet direkt mit einer e-Funktion: g$x$ = $x+2$·e^$-x$. Hier musst du Extremstellen finden - das machst du durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung. Bei e-Funktionen brauchst du die Produktregel und Kettenregel.

Bei der kubischen Funktion f$x$ = x³ + 9x² - 23x + 15 geht's ums Integrieren. Das Integral von 1 bis 5 berechnest du, indem du die Stammfunktion bildest und die Grenzen einsetzt. Wenn F(5) - F(1) = 0 ist, bedeutet das geometrisch, dass die Flächenbilanz zwischen positiven und negativen Bereichen ausgeglichen ist.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Zurücklegen ist knifflig: 3 rote und 7 weiße Kugeln, zweimal ziehen. "Höchstens eine weiße Kugel" bedeutet 0 oder 1 weiße - rechne beide Fälle einzeln und addiere sie.

Merktipp: Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug!

Binomialverteilung und erweiterte Analysis

Binomialverteilungen erkennst du an drei Merkmalen: feste Anzahl n, konstante Wahrscheinlichkeit p, und nur zwei mögliche Ausgänge. Bei der Lotterie mit p = 0,7 kannst du falsche Graphiken daran erkennen, dass der Erwartungswert bei μ = n·p liegt.

Für konkrete Berechnungen brauchst du diese Formeln: P$X = k$ = (n über k)·p^k·$1-p$^$n-k$. "Mindestens 1" rechnest du am besten über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P$X = 0$.

Die Geschwindigkeitsfunktion des Tigers zeigt dir, wie Ableitungen in der Realität funktionieren. f'$t$ gibt die Beschleunigung an, f''$t$ die Änderung der Beschleunigung. Für die maximale Geschwindigkeit setzt du f'$t$ = 0.

Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit findest du, indem du f''$t$ = 0 setzt und prüfst, wo f'' sein Minimum hat. Das Integral der Geschwindigkeit ergibt die zurückgelegte Strecke.

Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben immer erst überlegen, was die Ableitung physikalisch bedeutet!

Komplexe Stochastik-Anwendungen

Smartphone-Statistiken zeigen dir realistische Binomialverteilungen: Bei n = 200 und p = 0,8 ist der Erwartungswert μ = 160. Die Standardabweichung σ = √$n·p·(1-p)$ hilft dir bei Abweichungswahrscheinlichkeiten.

Für die Mindestanzahl von Geräten nutzt du P(X ≥ 1) = 1 - P$X = 0$ ≥ 0,99. Das führt zu P$X = 0$ ≤ 0,01, also (0,93)^n ≤ 0,01.

Qualitätskontrolle funktioniert über Schwellenwerte: Wenn P(Y ≥ 12) bei p = 0,07 sehr klein ist, deutet das Überschreiten auf einen höheren Fehleranteil hin. Das ist ein typisches Signifikanztest-Prinzip.

Das Baumdiagramm für Prüfgeräte zeigt: 99% Erkennungsrate für fehlerhafte Geräte, aber 0,1% falsch-positive bei funktionsfähigen. Verwende die Formel von Bayes für umgekehrte Wahrscheinlichkeiten.

Bei Kostenvergleichen rechnest du Erwartungswerte: Ohne Prüfgerät entstehen Kosten durch Reklamationen, mit Prüfgerät durch Anschaffung plus Fehlentscheidungen.

Wichtig: Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer das Baumdiagramm zeichnen - das verhindert Denkfehler!

Schwimmbad-Statistik und Normalapproximation

Bei 2000 Jahreskartenbesitzern mit p = 0,1 hast du eine große Binomialverteilung vor dir. P$X = 210$ ≈ 2% bedeutet: Es ist ziemlich unwahrscheinlich, dass genau 210 Personen kommen - die meisten Tage werden andere Besucherzahlen haben.

Für die 90%-Grenze nutzt du die Normalapproximation oder Tabellen. Du suchst das 10%-Quantil, also den Wert, unter dem nur 10% der Verteilung liegen.

Das Histogramm der Kioskeinnahmen zeigt: 50% zahlen 4€, 30% zahlen 12€, 20% zahlen 0€. Der Erwartungswert ist E(G) = 0,5·4 + 0,3·12 + 0,2·0 = 5,6€ pro Gast.

Bei 660 Gästen insgesamt erwartest du 660·5,6 = 3696€ Gesamteinnahmen. Für die 1000€ nur von Jahreskartenbesitzern berechnest du erst deren erwartete Anzahl $μ = 200$, dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1000€ Umsatz.

Die Binomialverteilung der Besucherzahl kombinierst du mit der Einnahmenverteilung pro Person - das wird zu einer zusammengesetzten Zufallsvariable.

Strategie: Bei großen n und kleinem p die Normalapproximation nutzen - das spart Zeit und Nerven!