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1.199

8. Dez. 2025

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Probeklausur Q2: Grundlagen der Analysis und Stochastik (e-Funktionen, Wahrscheinlichkeiten)

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Leonie

@leonie_19.03

Diese Probeklausur zeigt dir alle wichtigen Themen aus Analysis und... Mehr anzeigen

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Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Der abgebildete Graph gehört zur Funktion g mit
3.
4.
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1. Ermitteln Sie die Extremstellen von g.
2.

Analysis-Grundlagen und Stochastik-Basics

Die erste Aufgabe startet direkt mit einer e-Funktion: g(x) = x+2x+2·e^x-x. Hier musst du Extremstellen finden - das machst du durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung. Bei e-Funktionen brauchst du die Produktregel und Kettenregel.

Bei der kubischen Funktion f(x) = x³ + 9x² - 23x + 15 geht's ums Integrieren. Das Integral von 1 bis 5 berechnest du, indem du die Stammfunktion bildest und die Grenzen einsetzt. Wenn F(5) - F(1) = 0 ist, bedeutet das geometrisch, dass die Flächenbilanz zwischen positiven und negativen Bereichen ausgeglichen ist.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Zurücklegen ist knifflig: 3 rote und 7 weiße Kugeln, zweimal ziehen. "Höchstens eine weiße Kugel" bedeutet 0 oder 1 weiße - rechne beide Fälle einzeln und addiere sie.

Merktipp: Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug!

Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Der abgebildete Graph gehört zur Funktion g mit
3.
4.
1309
1. Ermitteln Sie die Extremstellen von g.
2.

Binomialverteilung und erweiterte Analysis

Binomialverteilungen erkennst du an drei Merkmalen: feste Anzahl n, konstante Wahrscheinlichkeit p, und nur zwei mögliche Ausgänge. Bei der Lotterie mit p = 0,7 kannst du falsche Graphiken daran erkennen, dass der Erwartungswert bei μ = n·p liegt.

Für konkrete Berechnungen brauchst du diese Formeln: PX=kX = k = (n über k)·p^k·1p1-p^nkn-k. "Mindestens 1" rechnest du am besten über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0.

Die Geschwindigkeitsfunktion des Tigers zeigt dir, wie Ableitungen in der Realität funktionieren. f'(t) gibt die Beschleunigung an, f''(t) die Änderung der Beschleunigung. Für die maximale Geschwindigkeit setzt du f'(t) = 0.

Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit findest du, indem du f''(t) = 0 setzt und prüfst, wo f'' sein Minimum hat. Das Integral der Geschwindigkeit ergibt die zurückgelegte Strecke.

Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben immer erst überlegen, was die Ableitung physikalisch bedeutet!

Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Der abgebildete Graph gehört zur Funktion g mit
3.
4.
1309
1. Ermitteln Sie die Extremstellen von g.
2.

Komplexe Stochastik-Anwendungen

Smartphone-Statistiken zeigen dir realistische Binomialverteilungen: Bei n = 200 und p = 0,8 ist der Erwartungswert μ = 160. Die Standardabweichung σ = √np(1p)n·p·(1-p) hilft dir bei Abweichungswahrscheinlichkeiten.

Für die Mindestanzahl von Geräten nutzt du P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ≥ 0,99. Das führt zu PX=0X = 0 ≤ 0,01, also (0,93)^n ≤ 0,01.

Qualitätskontrolle funktioniert über Schwellenwerte: Wenn P(Y ≥ 12) bei p = 0,07 sehr klein ist, deutet das Überschreiten auf einen höheren Fehleranteil hin. Das ist ein typisches Signifikanztest-Prinzip.

Das Baumdiagramm für Prüfgeräte zeigt: 99% Erkennungsrate für fehlerhafte Geräte, aber 0,1% falsch-positive bei funktionsfähigen. Verwende die Formel von Bayes für umgekehrte Wahrscheinlichkeiten.

Bei Kostenvergleichen rechnest du Erwartungswerte: Ohne Prüfgerät entstehen Kosten durch Reklamationen, mit Prüfgerät durch Anschaffung plus Fehlentscheidungen.

Wichtig: Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer das Baumdiagramm zeichnen - das verhindert Denkfehler!

Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Der abgebildete Graph gehört zur Funktion g mit
3.
4.
1309
1. Ermitteln Sie die Extremstellen von g.
2.

Schwimmbad-Statistik und Normalapproximation

Bei 2000 Jahreskartenbesitzern mit p = 0,1 hast du eine große Binomialverteilung vor dir. PX=210X = 210 ≈ 2% bedeutet: Es ist ziemlich unwahrscheinlich, dass genau 210 Personen kommen - die meisten Tage werden andere Besucherzahlen haben.

Für die 90%-Grenze nutzt du die Normalapproximation oder Tabellen. Du suchst das 10%-Quantil, also den Wert, unter dem nur 10% der Verteilung liegen.

Das Histogramm der Kioskeinnahmen zeigt: 50% zahlen 4€, 30% zahlen 12€, 20% zahlen 0€. Der Erwartungswert ist E(G) = 0,5·4 + 0,3·12 + 0,2·0 = 5,6€ pro Gast.

Bei 660 Gästen insgesamt erwartest du 660·5,6 = 3696€ Gesamteinnahmen. Für die 1000€ nur von Jahreskartenbesitzern berechnest du erst deren erwartete Anzahl (μ = 200), dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1000€ Umsatz.

Die Binomialverteilung der Besucherzahl kombinierst du mit der Einnahmenverteilung pro Person - das wird zu einer zusammengesetzten Zufallsvariable.

Strategie: Bei großen n und kleinem p die Normalapproximation nutzen - das spart Zeit und Nerven!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathe

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8. Dez. 2025

4 Seiten

Probeklausur Q2: Grundlagen der Analysis und Stochastik (e-Funktionen, Wahrscheinlichkeiten)

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Diese Probeklausur zeigt dir alle wichtigen Themen aus Analysis und Stochastik, die im Vorabi drankommen. Du findest hier alles von Extremwertaufgaben bis hin zu komplexen Wahrscheinlichkeitsrechnungen - perfekt, um dich optimal auf deine Klausur vorzubereiten.

Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Der abgebildete Graph gehört zur Funktion g mit
3.
4.
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1. Ermitteln Sie die Extremstellen von g.
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Analysis-Grundlagen und Stochastik-Basics

Die erste Aufgabe startet direkt mit einer e-Funktion: g(x) = x+2x+2·e^x-x. Hier musst du Extremstellen finden - das machst du durch Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung. Bei e-Funktionen brauchst du die Produktregel und Kettenregel.

Bei der kubischen Funktion f(x) = x³ + 9x² - 23x + 15 geht's ums Integrieren. Das Integral von 1 bis 5 berechnest du, indem du die Stammfunktion bildest und die Grenzen einsetzt. Wenn F(5) - F(1) = 0 ist, bedeutet das geometrisch, dass die Flächenbilanz zwischen positiven und negativen Bereichen ausgeglichen ist.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Zurücklegen ist knifflig: 3 rote und 7 weiße Kugeln, zweimal ziehen. "Höchstens eine weiße Kugel" bedeutet 0 oder 1 weiße - rechne beide Fälle einzeln und addiere sie.

Merktipp: Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug!

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Binomialverteilung und erweiterte Analysis

Binomialverteilungen erkennst du an drei Merkmalen: feste Anzahl n, konstante Wahrscheinlichkeit p, und nur zwei mögliche Ausgänge. Bei der Lotterie mit p = 0,7 kannst du falsche Graphiken daran erkennen, dass der Erwartungswert bei μ = n·p liegt.

Für konkrete Berechnungen brauchst du diese Formeln: PX=kX = k = (n über k)·p^k·1p1-p^nkn-k. "Mindestens 1" rechnest du am besten über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0.

Die Geschwindigkeitsfunktion des Tigers zeigt dir, wie Ableitungen in der Realität funktionieren. f'(t) gibt die Beschleunigung an, f''(t) die Änderung der Beschleunigung. Für die maximale Geschwindigkeit setzt du f'(t) = 0.

Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit findest du, indem du f''(t) = 0 setzt und prüfst, wo f'' sein Minimum hat. Das Integral der Geschwindigkeit ergibt die zurückgelegte Strecke.

Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben immer erst überlegen, was die Ableitung physikalisch bedeutet!

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Für die Mindestanzahl von Geräten nutzt du P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ≥ 0,99. Das führt zu PX=0X = 0 ≤ 0,01, also (0,93)^n ≤ 0,01.

Qualitätskontrolle funktioniert über Schwellenwerte: Wenn P(Y ≥ 12) bei p = 0,07 sehr klein ist, deutet das Überschreiten auf einen höheren Fehleranteil hin. Das ist ein typisches Signifikanztest-Prinzip.

Das Baumdiagramm für Prüfgeräte zeigt: 99% Erkennungsrate für fehlerhafte Geräte, aber 0,1% falsch-positive bei funktionsfähigen. Verwende die Formel von Bayes für umgekehrte Wahrscheinlichkeiten.

Bei Kostenvergleichen rechnest du Erwartungswerte: Ohne Prüfgerät entstehen Kosten durch Reklamationen, mit Prüfgerät durch Anschaffung plus Fehlentscheidungen.

Wichtig: Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer das Baumdiagramm zeichnen - das verhindert Denkfehler!

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Schwimmbad-Statistik und Normalapproximation

Bei 2000 Jahreskartenbesitzern mit p = 0,1 hast du eine große Binomialverteilung vor dir. PX=210X = 210 ≈ 2% bedeutet: Es ist ziemlich unwahrscheinlich, dass genau 210 Personen kommen - die meisten Tage werden andere Besucherzahlen haben.

Für die 90%-Grenze nutzt du die Normalapproximation oder Tabellen. Du suchst das 10%-Quantil, also den Wert, unter dem nur 10% der Verteilung liegen.

Das Histogramm der Kioskeinnahmen zeigt: 50% zahlen 4€, 30% zahlen 12€, 20% zahlen 0€. Der Erwartungswert ist E(G) = 0,5·4 + 0,3·12 + 0,2·0 = 5,6€ pro Gast.

Bei 660 Gästen insgesamt erwartest du 660·5,6 = 3696€ Gesamteinnahmen. Für die 1000€ nur von Jahreskartenbesitzern berechnest du erst deren erwartete Anzahl (μ = 200), dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1000€ Umsatz.

Die Binomialverteilung der Besucherzahl kombinierst du mit der Einnahmenverteilung pro Person - das wird zu einer zusammengesetzten Zufallsvariable.

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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