Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Stell dir vor, du hast eine chaotische quadratische Gleichung vor dir und musst daraus eine ordentliche Scheitelpunktsform machen. Genau das schaffst du mit der quadratischen Ergänzung! Du verwandelst dabei $ax^2+bx+c$ in die übersichtliche Form $a(x-d)^2+e$.

Der Trick funktioniert in sechs einfachen Schritten: Erst sortierst du nach Exponenten (größte zuerst), dann klammerst du den Vorfaktor von x² aus. Danach teilst du den Vorfaktor von x durch 2 - dieser Wert wird zum Schlüssel für die binomische Formel.

Das Geniale ist: Du addierst und subtrahierst gleichzeitig das Quadrat dieses Wertes in der Klammer. So bleibt die Gleichung mathematisch korrekt, aber du kannst eine binomische Formel bilden.

💡 Merktipp: Der Vorfaktor von x geteilt durch 2 ergibt immer den mittleren Term der binomischen Formel!

Am Beispiel $f(x)=12x+17+2x^2$ siehst du: Nach dem Sortieren zu $2x^2+12x+17$ und Ausklammern wird daraus $2(x^2+6x)+17$. Die 6 geteilt durch 2 ergibt 3, also ergänzt du $+3²-3²$ in der Klammer. Das Endergebnis $f(x)=2(x+3)^2-1$ verrät dir sofort: Scheitelpunkt bei $-3|-1$!