Grundlagen zu Quadratischen Funktionen

Quadratische Funktionen haben die Form f$x$ = ax² + bx + c mit a ≠ 0. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, die nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet sein kann.

Jede Parabel hat charakteristische Merkmale: eine Symmetrieachse parallel zur y-Achse, einen Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt) und möglicherweise Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse). Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel f$x$ = x².

Bei Anwendungsaufgaben sind typische Fragen: Wann erreicht die Funktion ihren höchsten/tiefsten Wert? Wann schneidet die Funktion die x-Achse? Wie groß ist der Funktionswert an einer bestimmten Stelle?

💡 Du kannst viele Fragen zu Parabeln direkt aus dem Graphen oder einer Wertetabelle ablesen. Zum Beispiel bei einer Feuerwerksrakete: Der Startpunkt ist f(0), die maximale Höhe findest du am Scheitelpunkt und der Aufschlag am Boden entspricht einer Nullstelle.

Parabeln verschieben und strecken

Der Faktor a in f$x$ = ax² bestimmt, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht wird. Bei |a| > 1 wird die Parabel in y-Richtung gestreckt, bei |a| < 1 gestaucht. Das Vorzeichen von a entscheidet, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist.

Durch Addition einer Konstante e verschiebst du die Parabel in y-Richtung: f$x$ = x² + e verschiebt die Parabel um e Einheiten nach oben (e > 0) oder unten (e < 0). Der Scheitelpunkt liegt dann bei S(0|e).

Mit f$x$ = $x - d$² verschiebst du die Parabel in x-Richtung: nach rechts für d > 0 und nach links für d < 0. Der Scheitelpunkt liegt bei S(d|0).

🔑 Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x - d$² + e kombiniert alle drei Effekte und gibt dir direkt den Scheitelpunkt S(d|e). Das ist besonders praktisch, wenn du den Scheitelpunkt einer Parabel schnell bestimmen willst!

Darstellungsformen und einfache quadratische Gleichungen

Eine quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden. In der Scheitelpunktform y = a$x-d$² + e kannst du direkt den Scheitelpunkt (d|e) ablesen. In der Standardform y = ax² + bx + c erkennst du leicht den y-Achsenabschnitt (0|c). Die Nullstellenform y = ax-m$$x-n zeigt dir sofort die Nullstellen m und n.

Bei quadratischen Gleichungen der Form x² - q = 0 lautet die Lösung x = ±√q, wenn q > 0. Ist q = 0, dann ist x = 0 die einzige Lösung. Bei q < 0 gibt es keine reelle Lösung.

Quadratische Gleichungen der Form x² - rx = 0 löst du durch Ausklammern: x$x - r$ = 0. Das ergibt die Lösungen x₁ = 0 und x₂ = r.

Bei Gleichungen der Form x - m$$x - n = 0 sind die Lösungen direkt x₁ = m und x₂ = n, da ein Produkt nur null sein kann, wenn mindestens ein Faktor null ist.

💡 Achte auf die Form der quadratischen Gleichung! Je nach Form gibt es unterschiedliche, einfache Lösungswege, die dir viel Rechenarbeit ersparen können.

Quadratische Ergänzung und pq-Formel

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen. Dabei wandelt man die Gleichung in die Form $x + p/2$² = q um. Die Regel ist einfach: Halbiere den Koeffizienten von x, quadriere ihn und addiere diesen Wert auf beiden Seiten der Gleichung.

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Sie lautet: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$

Um die pq-Formel anzuwenden, musst du die Gleichung erst in die Normalform bringen. Wenn die Gleichung z.B. mit einem Faktor vor x² beginnt, teile alle Terme durch diesen Faktor.

🔍 Der Ausdruck unter der Wurzel, $p/2$² - q, wird als Diskriminante bezeichnet. Ist sie positiv, gibt es zwei reelle Lösungen. Ist sie null, gibt es genau eine Lösung. Und ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen. Dies verrät dir schon vor dem Ausrechnen, wie viele Lösungen du erwarten kannst!