Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Gleichung

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2. Jan. 2026

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6 Seiten

Quadratische Gleichungen leicht erklärt: Formen und Beispiele

Amelie Kreidler

@ameliekreidler_vgtz

Quadratische Gleichungen sind ein super wichtiges Thema in Mathe -... Mehr anzeigen

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Rein quadratische Gleichungen

Rein quadratische Gleichungen haben die Form x² = r und sind eigentlich ziemlich entspannt zu lösen. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, bekommst du unterschiedlich viele Lösungen.

Wenn r > 0 ist, hast du zwei Lösungen: x₁ = √r und x₂ = -√r. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positiv werden. Bei r = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0. Und wenn r < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.

Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -5, weil beide Zahlen quadriert 25 ergeben. Grafisch siehst du das an den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - zwei Schnittpunkte bedeuten zwei Lösungen!

Merktipp: Vergiss nie das ± vor der Wurzel - außer bei x² = 0, da ist x einfach nur 0!

Gleichungen der Form ax² + bx = 0

Diese Art von Gleichung löst du super einfach mit Ausklammern! Du klammerst einfach x aus und bekommst x $ax + b$ = 0. Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Das bedeutet: Entweder x = 0 oder ax + b = 0. Die zweite Gleichung löst du dann nach x auf und bekommst x = -b/a. So hast du immer zwei Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -b/a.

Beispiel: Bei -4x² - 8x = 0 klammerst du aus: x $-4x - 8$ = 0. Also ist x₁ = 0 oder -4x - 8 = 0, was x₂ = -2 ergibt. Grafisch entspricht das den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - eine davon ist immer der Ursprung!

Wichtig: Eine Lösung ist bei dieser Form IMMER x = 0, weil kein konstanter Term (ohne x) vorhanden ist.

Scheitelform a $x-d$ ² + e = 0

Die Scheitelform ist praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen kannst. Zum Lösen formst du die Gleichung so um, dass $x-d$ ² alleine auf einer Seite steht, dann ziehst du die Wurzel.

Aus a $x-d$ ² + e = 0 wird a $x-d$ ² = -e, dann $x-d$ ² = -e/a. Jetzt kommt's drauf an: Ist -e/a positiv, hast du zwei Lösungen. Ist es null, eine Lösung. Ist es negativ, keine Lösung.

Beispiel: Bei 2 $x-1$ ² - 8 = 0 rechnest du: 2 $x-1$ ² = 8, also $x-1$ ² = 4. Wurzel ziehen: x-1 = ±2, daher x₁ = 3 und x₂ = -1. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|-8).

Tipp: Die Scheitelform verrät dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt der Parabel liegt!

Die Mitternachtsformel (allgemeine Form)

Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil du sie im Schlaf können solltest: x = $-b ± √(b²-4ac)$ / 2a.

Das Wichtigste ist die Diskriminante D = b² - 4ac unter der Wurzel. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Bei D = 0 eine Lösung. Und bei D < 0 keine reelle Lösung.

Beispiel: Für 2x² - 10x + 8 = 0 ist a=2, b=-10, c=8. Einsetzen: x = (10 ± √(100-64)) / 4 = (10 ± 6) / 4. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 1.

Profi-Trick: Rechne zuerst die Diskriminante aus - so weißt du sofort, ob und wie viele Lösungen es gibt!

Linearfaktordarstellung

Die Linearfaktordarstellung ist die dritte Form neben Scheitel- und allgemeiner Form: y = a $x-x₁$ $x-x₂$ . Sie funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat.

Um sie aufzustellen, brauchst du die Nullstellen x₁ und x₂ und einen weiteren Punkt zur Bestimmung von a. Setzt du die Nullstellen ein, wird die ganze Gleichung null - logisch, oder?

Beispiel: Eine Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ = 2 und x₂ = -1 und geht durch den Punkt (0|-1,5). Ansatz: y = a $x-2$ $x+1$ . Punkt einsetzen: -1,5 = a(-2)(1) = -2a, also a = 0,75. Fertig: y = 0,75 $x-2$ $x+1$ .

Anwendung: Diese Form ist super praktisch, wenn du Nullstellen kennst und schnell die Parabelgleichung brauchst!

Bruchgleichungen mit quadratischen Gleichungen

Bruchgleichungen entstehen, wenn die Variable im Nenner steht, wie bei x + 3/x = 4. Das Ziel ist, den Bruch wegzubekommen, indem du mit einem geeigneten Term multiplizierst.

Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner (hier x), sodass keine Variable mehr unten steht. Aus x + 3/x = 4 wird x² + 3 = 4x, also x² - 4x + 3 = 0. Diese quadratische Gleichung löst du dann wie gewohnt.

Wichtiger Hinweis: Prüfe am Ende immer, ob deine Lösungen den ursprünglichen Nenner null machen würden! Falls ja, sind sie ungültig, weil durch null teilen nicht erlaubt ist.

Vorsicht: Eine Lösung, die den Nenner null macht, ist automatisch falsch - auch wenn sie mathematisch richtig gerechnet ist!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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