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Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Gleichung

MatheMathe2,725 aufrufe·Aktualisiert May 28, 2026·6 Seiten

Quadratische Gleichungen leicht erklärt: Formen und Beispiele

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Amelie Kreidler@ameliekreidler_vgtz

Quadratische Gleichungen sind ein super wichtiges Thema in Mathe -... Mehr anzeigen

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Mathe Arbeit 1. Rein quadratische Gleichungen Definition: Eine Gleichung, die man auf die man auf die Form $x^2-r$ (r. Reelee Zohe) bringen

Rein quadratische Gleichungen

Rein quadratische Gleichungen haben die Form x² = r und sind eigentlich ziemlich entspannt zu lösen. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, bekommst du unterschiedlich viele Lösungen.

Wenn r > 0 ist, hast du zwei Lösungen: x₁ = √r und x₂ = -√r. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positiv werden. Bei r = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0. Und wenn r < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.

Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -5, weil beide Zahlen quadriert 25 ergeben. Grafisch siehst du das an den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - zwei Schnittpunkte bedeuten zwei Lösungen!

Merktipp: Vergiss nie das ± vor der Wurzel - außer bei x² = 0, da ist x einfach nur 0!

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Mathe Arbeit 1. Rein quadratische Gleichungen Definition: Eine Gleichung, die man auf die man auf die Form $x^2-r$ (r. Reelee Zohe) bringen

Gleichungen der Form ax² + bx = 0

Diese Art von Gleichung löst du super einfach mit Ausklammern! Du klammerst einfach x aus und bekommst xax+bax + b = 0. Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Das bedeutet: Entweder x = 0 oder ax + b = 0. Die zweite Gleichung löst du dann nach x auf und bekommst x = -b/a. So hast du immer zwei Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -b/a.

Beispiel: Bei -4x² - 8x = 0 klammerst du aus: x−4x−8-4x - 8 = 0. Also ist x₁ = 0 oder -4x - 8 = 0, was x₂ = -2 ergibt. Grafisch entspricht das den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - eine davon ist immer der Ursprung!

Wichtig: Eine Lösung ist bei dieser Form IMMER x = 0, weil kein konstanter Term (ohne x) vorhanden ist.

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Mathe Arbeit 1. Rein quadratische Gleichungen Definition: Eine Gleichung, die man auf die man auf die Form $x^2-r$ (r. Reelee Zohe) bringen

Scheitelform ax−dx-d² + e = 0

Die Scheitelform ist praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen kannst. Zum Lösen formst du die Gleichung so um, dass x−dx-d² alleine auf einer Seite steht, dann ziehst du die Wurzel.

Aus ax−dx-d² + e = 0 wird ax−dx-d² = -e, dann x−dx-d² = -e/a. Jetzt kommt's drauf an: Ist -e/a positiv, hast du zwei Lösungen. Ist es null, eine Lösung. Ist es negativ, keine Lösung.

Beispiel: Bei 2x−1x-1² - 8 = 0 rechnest du: 2x−1x-1² = 8, also x−1x-1² = 4. Wurzel ziehen: x-1 = ±2, daher x₁ = 3 und x₂ = -1. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|-8).

Tipp: Die Scheitelform verrät dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt der Parabel liegt!

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Mathe Arbeit 1. Rein quadratische Gleichungen Definition: Eine Gleichung, die man auf die man auf die Form $x^2-r$ (r. Reelee Zohe) bringen

Die Mitternachtsformel (allgemeine Form)

Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil du sie im Schlaf können solltest: x = −b±√(b2−4ac)-b ± √(b²-4ac) / 2a.

Das Wichtigste ist die Diskriminante D = b² - 4ac unter der Wurzel. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Bei D = 0 eine Lösung. Und bei D < 0 keine reelle Lösung.

Beispiel: Für 2x² - 10x + 8 = 0 ist a=2, b=-10, c=8. Einsetzen: x = (10 ± √(100-64)) / 4 = (10 ± 6) / 4. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 1.

Profi-Trick: Rechne zuerst die Diskriminante aus - so weißt du sofort, ob und wie viele Lösungen es gibt!

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Mathe Arbeit 1. Rein quadratische Gleichungen Definition: Eine Gleichung, die man auf die man auf die Form $x^2-r$ (r. Reelee Zohe) bringen

Linearfaktordarstellung

Die Linearfaktordarstellung ist die dritte Form neben Scheitel- und allgemeiner Form: y = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂. Sie funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat.

Um sie aufzustellen, brauchst du die Nullstellen x₁ und x₂ und einen weiteren Punkt zur Bestimmung von a. Setzt du die Nullstellen ein, wird die ganze Gleichung null - logisch, oder?

Beispiel: Eine Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ = 2 und x₂ = -1 und geht durch den Punkt (0|-1,5). Ansatz: y = ax−2x-2x+1x+1. Punkt einsetzen: -1,5 = a(-2)(1) = -2a, also a = 0,75. Fertig: y = 0,75x−2x-2x+1x+1.

Anwendung: Diese Form ist super praktisch, wenn du Nullstellen kennst und schnell die Parabelgleichung brauchst!

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Bruchgleichungen mit quadratischen Gleichungen

Bruchgleichungen entstehen, wenn die Variable im Nenner steht, wie bei x + 3/x = 4. Das Ziel ist, den Bruch wegzubekommen, indem du mit einem geeigneten Term multiplizierst.

Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner (hier x), sodass keine Variable mehr unten steht. Aus x + 3/x = 4 wird x² + 3 = 4x, also x² - 4x + 3 = 0. Diese quadratische Gleichung löst du dann wie gewohnt.

Wichtiger Hinweis: Prüfe am Ende immer, ob deine Lösungen den ursprünglichen Nenner null machen würden! Falls ja, sind sie ungültig, weil durch null teilen nicht erlaubt ist.

Vorsicht: Eine Lösung, die den Nenner null macht, ist automatisch falsch - auch wenn sie mathematisch richtig gerechnet ist!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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Amelie Kreidler@ameliekreidler_vgtz

Quadratische Gleichungen sind ein super wichtiges Thema in Mathe - und eigentlich viel einfacher als du denkst! Du lernst hier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen kennen und wie du sie löst, sowohl rechnerisch als auch grafisch.

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Rein quadratische Gleichungen

Rein quadratische Gleichungen haben die Form x² = r und sind eigentlich ziemlich entspannt zu lösen. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, bekommst du unterschiedlich viele Lösungen.

Wenn r > 0 ist, hast du zwei Lösungen: x₁ = √r und x₂ = -√r. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positiv werden. Bei r = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0. Und wenn r < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.

Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -5, weil beide Zahlen quadriert 25 ergeben. Grafisch siehst du das an den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - zwei Schnittpunkte bedeuten zwei Lösungen!

Merktipp: Vergiss nie das ± vor der Wurzel - außer bei x² = 0, da ist x einfach nur 0!

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Gleichungen der Form ax² + bx = 0

Diese Art von Gleichung löst du super einfach mit Ausklammern! Du klammerst einfach x aus und bekommst xax+bax + b = 0. Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Das bedeutet: Entweder x = 0 oder ax + b = 0. Die zweite Gleichung löst du dann nach x auf und bekommst x = -b/a. So hast du immer zwei Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -b/a.

Beispiel: Bei -4x² - 8x = 0 klammerst du aus: x−4x−8-4x - 8 = 0. Also ist x₁ = 0 oder -4x - 8 = 0, was x₂ = -2 ergibt. Grafisch entspricht das den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - eine davon ist immer der Ursprung!

Wichtig: Eine Lösung ist bei dieser Form IMMER x = 0, weil kein konstanter Term (ohne x) vorhanden ist.

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Scheitelform ax−dx-d² + e = 0

Die Scheitelform ist praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen kannst. Zum Lösen formst du die Gleichung so um, dass x−dx-d² alleine auf einer Seite steht, dann ziehst du die Wurzel.

Aus ax−dx-d² + e = 0 wird ax−dx-d² = -e, dann x−dx-d² = -e/a. Jetzt kommt's drauf an: Ist -e/a positiv, hast du zwei Lösungen. Ist es null, eine Lösung. Ist es negativ, keine Lösung.

Beispiel: Bei 2x−1x-1² - 8 = 0 rechnest du: 2x−1x-1² = 8, also x−1x-1² = 4. Wurzel ziehen: x-1 = ±2, daher x₁ = 3 und x₂ = -1. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|-8).

Tipp: Die Scheitelform verrät dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt der Parabel liegt!

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Die Mitternachtsformel (allgemeine Form)

Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil du sie im Schlaf können solltest: x = −b±√(b2−4ac)-b ± √(b²-4ac) / 2a.

Das Wichtigste ist die Diskriminante D = b² - 4ac unter der Wurzel. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Bei D = 0 eine Lösung. Und bei D < 0 keine reelle Lösung.

Beispiel: Für 2x² - 10x + 8 = 0 ist a=2, b=-10, c=8. Einsetzen: x = (10 ± √(100-64)) / 4 = (10 ± 6) / 4. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 1.

Profi-Trick: Rechne zuerst die Diskriminante aus - so weißt du sofort, ob und wie viele Lösungen es gibt!

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Linearfaktordarstellung

Die Linearfaktordarstellung ist die dritte Form neben Scheitel- und allgemeiner Form: y = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂. Sie funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat.

Um sie aufzustellen, brauchst du die Nullstellen x₁ und x₂ und einen weiteren Punkt zur Bestimmung von a. Setzt du die Nullstellen ein, wird die ganze Gleichung null - logisch, oder?

Beispiel: Eine Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ = 2 und x₂ = -1 und geht durch den Punkt (0|-1,5). Ansatz: y = ax−2x-2x+1x+1. Punkt einsetzen: -1,5 = a(-2)(1) = -2a, also a = 0,75. Fertig: y = 0,75x−2x-2x+1x+1.

Anwendung: Diese Form ist super praktisch, wenn du Nullstellen kennst und schnell die Parabelgleichung brauchst!

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Bruchgleichungen mit quadratischen Gleichungen

Bruchgleichungen entstehen, wenn die Variable im Nenner steht, wie bei x + 3/x = 4. Das Ziel ist, den Bruch wegzubekommen, indem du mit einem geeigneten Term multiplizierst.

Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner (hier x), sodass keine Variable mehr unten steht. Aus x + 3/x = 4 wird x² + 3 = 4x, also x² - 4x + 3 = 0. Diese quadratische Gleichung löst du dann wie gewohnt.

Wichtiger Hinweis: Prüfe am Ende immer, ob deine Lösungen den ursprünglichen Nenner null machen würden! Falls ja, sind sie ungültig, weil durch null teilen nicht erlaubt ist.

Vorsicht: Eine Lösung, die den Nenner null macht, ist automatisch falsch - auch wenn sie mathematisch richtig gerechnet ist!

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Stefan SiOS-Nutzer

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