Quadratische Gleichungen sind ein super wichtiges Thema in Mathe -...
Mathe2.730 aufrufe·Aktualisiert 1. Aug. 2026·6 SeitenQuadratische Gleichungen leicht erklärt: Formen und Beispiele
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Amelie Kreidler@ameliekreidler_vgtz
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Rein quadratische Gleichungen
Rein quadratische Gleichungen haben die Form x² = r und sind eigentlich ziemlich entspannt zu lösen. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, bekommst du unterschiedlich viele Lösungen.
Wenn r > 0 ist, hast du zwei Lösungen: x₁ = √r und x₂ = -√r. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positiv werden. Bei r = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0. Und wenn r < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.
Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -5, weil beide Zahlen quadriert 25 ergeben. Grafisch siehst du das an den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - zwei Schnittpunkte bedeuten zwei Lösungen!
Merktipp: Vergiss nie das ± vor der Wurzel - außer bei x² = 0, da ist x einfach nur 0!
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Gleichungen der Form ax² + bx = 0
Diese Art von Gleichung löst du super einfach mit Ausklammern! Du klammerst einfach x aus und bekommst x = 0. Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.
Das bedeutet: Entweder x = 0 oder ax + b = 0. Die zweite Gleichung löst du dann nach x auf und bekommst x = -b/a. So hast du immer zwei Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -b/a.
Beispiel: Bei -4x² - 8x = 0 klammerst du aus: x = 0. Also ist x₁ = 0 oder -4x - 8 = 0, was x₂ = -2 ergibt. Grafisch entspricht das den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - eine davon ist immer der Ursprung!
Wichtig: Eine Lösung ist bei dieser Form IMMER x = 0, weil kein konstanter Term (ohne x) vorhanden ist.
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Scheitelform a² + e = 0
Die Scheitelform ist praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen kannst. Zum Lösen formst du die Gleichung so um, dass ² alleine auf einer Seite steht, dann ziehst du die Wurzel.
Aus a² + e = 0 wird a² = -e, dann ² = -e/a. Jetzt kommt's drauf an: Ist -e/a positiv, hast du zwei Lösungen. Ist es null, eine Lösung. Ist es negativ, keine Lösung.
Beispiel: Bei 2² - 8 = 0 rechnest du: 2² = 8, also ² = 4. Wurzel ziehen: x-1 = ±2, daher x₁ = 3 und x₂ = -1. Der Scheitelpunkt liegt bei S.
Tipp: Die Scheitelform verrät dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt der Parabel liegt!
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Die Mitternachtsformel (allgemeine Form)
Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil du sie im Schlaf können solltest: x = / 2a.
Das Wichtigste ist die Diskriminante D = b² - 4ac unter der Wurzel. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Bei D = 0 eine Lösung. Und bei D < 0 keine reelle Lösung.
Beispiel: Für 2x² - 10x + 8 = 0 ist a=2, b=-10, c=8. Einsetzen: x = / 4 = (10 ± 6) / 4. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 1.
Profi-Trick: Rechne zuerst die Diskriminante aus - so weißt du sofort, ob und wie viele Lösungen es gibt!
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Linearfaktordarstellung
Die Linearfaktordarstellung ist die dritte Form neben Scheitel- und allgemeiner Form: y = ax-x₁$$x-x₂. Sie funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat.
Um sie aufzustellen, brauchst du die Nullstellen x₁ und x₂ und einen weiteren Punkt zur Bestimmung von a. Setzt du die Nullstellen ein, wird die ganze Gleichung null - logisch, oder?
Beispiel: Eine Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ = 2 und x₂ = -1 und geht durch den Punkt . Ansatz: y = ax-2$$x+1. Punkt einsetzen: -1,5 = a(1) = -2a, also a = 0,75. Fertig: y = 0,75x-2$$x+1.
Anwendung: Diese Form ist super praktisch, wenn du Nullstellen kennst und schnell die Parabelgleichung brauchst!
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Bruchgleichungen mit quadratischen Gleichungen
Bruchgleichungen entstehen, wenn die Variable im Nenner steht, wie bei x + 3/x = 4. Das Ziel ist, den Bruch wegzubekommen, indem du mit einem geeigneten Term multiplizierst.
Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner (hier x), sodass keine Variable mehr unten steht. Aus x + 3/x = 4 wird x² + 3 = 4x, also x² - 4x + 3 = 0. Diese quadratische Gleichung löst du dann wie gewohnt.
Wichtiger Hinweis: Prüfe am Ende immer, ob deine Lösungen den ursprünglichen Nenner null machen würden! Falls ja, sind sie ungültig, weil durch null teilen nicht erlaubt ist.
Vorsicht: Eine Lösung, die den Nenner null macht, ist automatisch falsch - auch wenn sie mathematisch richtig gerechnet ist!
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Amelie Kreidler@ameliekreidler_vgtz
Quadratische Gleichungen sind ein super wichtiges Thema in Mathe - und eigentlich viel einfacher als du denkst! Du lernst hier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen kennen und wie du sie löst, sowohl rechnerisch als auch grafisch.
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Rein quadratische Gleichungen
Rein quadratische Gleichungen haben die Form x² = r und sind eigentlich ziemlich entspannt zu lösen. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, bekommst du unterschiedlich viele Lösungen.
Wenn r > 0 ist, hast du zwei Lösungen: x₁ = √r und x₂ = -√r. Das liegt daran, dass sowohl positive als auch negative Zahlen beim Quadrieren positiv werden. Bei r = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0. Und wenn r < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.
Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -5, weil beide Zahlen quadriert 25 ergeben. Grafisch siehst du das an den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - zwei Schnittpunkte bedeuten zwei Lösungen!
Merktipp: Vergiss nie das ± vor der Wurzel - außer bei x² = 0, da ist x einfach nur 0!
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Gleichungen der Form ax² + bx = 0
Diese Art von Gleichung löst du super einfach mit Ausklammern! Du klammerst einfach x aus und bekommst x = 0. Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.
Das bedeutet: Entweder x = 0 oder ax + b = 0. Die zweite Gleichung löst du dann nach x auf und bekommst x = -b/a. So hast du immer zwei Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = -b/a.
Beispiel: Bei -4x² - 8x = 0 klammerst du aus: x = 0. Also ist x₁ = 0 oder -4x - 8 = 0, was x₂ = -2 ergibt. Grafisch entspricht das den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse - eine davon ist immer der Ursprung!
Wichtig: Eine Lösung ist bei dieser Form IMMER x = 0, weil kein konstanter Term (ohne x) vorhanden ist.
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Scheitelform a² + e = 0
Die Scheitelform ist praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen kannst. Zum Lösen formst du die Gleichung so um, dass ² alleine auf einer Seite steht, dann ziehst du die Wurzel.
Aus a² + e = 0 wird a² = -e, dann ² = -e/a. Jetzt kommt's drauf an: Ist -e/a positiv, hast du zwei Lösungen. Ist es null, eine Lösung. Ist es negativ, keine Lösung.
Beispiel: Bei 2² - 8 = 0 rechnest du: 2² = 8, also ² = 4. Wurzel ziehen: x-1 = ±2, daher x₁ = 3 und x₂ = -1. Der Scheitelpunkt liegt bei S.
Tipp: Die Scheitelform verrät dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt der Parabel liegt!
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Die Mitternachtsformel (allgemeine Form)
Die Mitternachtsformel ist dein Allheilmittel für jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil du sie im Schlaf können solltest: x = / 2a.
Das Wichtigste ist die Diskriminante D = b² - 4ac unter der Wurzel. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen. Bei D = 0 eine Lösung. Und bei D < 0 keine reelle Lösung.
Beispiel: Für 2x² - 10x + 8 = 0 ist a=2, b=-10, c=8. Einsetzen: x = / 4 = (10 ± 6) / 4. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 1.
Profi-Trick: Rechne zuerst die Diskriminante aus - so weißt du sofort, ob und wie viele Lösungen es gibt!
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Linearfaktordarstellung
Die Linearfaktordarstellung ist die dritte Form neben Scheitel- und allgemeiner Form: y = ax-x₁$$x-x₂. Sie funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat.
Um sie aufzustellen, brauchst du die Nullstellen x₁ und x₂ und einen weiteren Punkt zur Bestimmung von a. Setzt du die Nullstellen ein, wird die ganze Gleichung null - logisch, oder?
Beispiel: Eine Parabel schneidet die x-Achse bei x₁ = 2 und x₂ = -1 und geht durch den Punkt . Ansatz: y = ax-2$$x+1. Punkt einsetzen: -1,5 = a(1) = -2a, also a = 0,75. Fertig: y = 0,75x-2$$x+1.
Anwendung: Diese Form ist super praktisch, wenn du Nullstellen kennst und schnell die Parabelgleichung brauchst!
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Bruchgleichungen mit quadratischen Gleichungen
Bruchgleichungen entstehen, wenn die Variable im Nenner steht, wie bei x + 3/x = 4. Das Ziel ist, den Bruch wegzubekommen, indem du mit einem geeigneten Term multiplizierst.
Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner (hier x), sodass keine Variable mehr unten steht. Aus x + 3/x = 4 wird x² + 3 = 4x, also x² - 4x + 3 = 0. Diese quadratische Gleichung löst du dann wie gewohnt.
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