Grundlagen quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen erkennst du daran, dass sie ein x² enthalten. Es gibt verschiedene Wege, sie zu lösen - je nach Form der Gleichung wählst du die beste Methode aus.

Ausklammern ist oft der einfachste Weg. Wenn du eine Gleichung wie 2x² + 6x = 0 hast, klammerst du x aus: x$2x + 6$ = 0. Dann weißt du: Entweder x = 0 oder 2x + 6 = 0, was x = -3 ergibt.

Die binomischen Formeln helfen dir, Terme zu vereinfachen. Die wichtigsten sind: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b² und a² - b² = $a+b$$a-b$. Diese erkennst du oft an besonderen Zahlenmustern.

Tipp: Prüfe immer zuerst, ob du ausklammern oder binomische Formeln anwenden kannst - das spart Zeit!

Die quadratische Ergänzung funktioniert, indem du geschickt eine Zahl addierst und subtrahierst, um ein vollständiges Quadrat zu erzeugen. Bei x² - 2x - 3 = 0 ergänzt du zu $x-1$² und löst dann einfach die Wurzel.

Die pq-Formel

Die pq-Formel ist dein Allzweckwerkzeug für quadratische Gleichungen in der Form x² + px + q = 0. Mit x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$ findest du immer die Lösung.

Bei der Gleichung x² - 2x - 3 = 0 ist p = -2 und q = -3. Setzt du das in die Formel ein, erhältst du x₁,₂ = 1 ± √(1 + 3) = 1 ± 2.

Das ergibt die beiden Lösungen x₁ = 3 und x₂ = -1. Die Lösungsmenge schreibst du als L = {3; -1}.

Merke: Die pq-Formel funktioniert nur, wenn vor dem x² eine 1 steht. Wenn nicht, teile die ganze Gleichung durch den Koeffizienten von x².