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•
10. Feb. 2026
•
Sara
@sxy
Diese Klausur behandelt die wichtigsten Konzepte zu ganzrationalen Funktionen -... Mehr anzeigen
Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel. Bei der ersten Aufgabe musst du zuerst alles auf eine Seite bringen, dann die Formel anwenden.
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen wie ist das einfach - bei quadratischen brauchst du wieder die Lösungsformel.
Der y-Achsenabschnitt ist super easy: Einfach in die Funktion einsetzen. Das gibt dir den Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet.
Tipp: Schnittpunkte von zwei Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt: - dann nach x auflösen!
Schnittpunkte von Parabeln berechnest du genauso wie bei anderen Funktionen - gleichsetzen und auflösen. Bei und erhältst du eine neue quadratische Gleichung.
Die Raketenaufgabe zeigt dir, wie Mathe im echten Leben funktioniert. Du kannst aus den Funktionsgleichungen ablesen, wo die Raketen starten und wo sie landen (Nullstellen).
Potenzfunktionen wie haben besondere Eigenschaften. Sie sind oft punktsymmetrisch zum Ursprung - das erkennst du daran, dass nur ungerade Exponenten vorkommen.
Bei der Symmetrie gilt: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch.
Ganzrationale Funktionen 5. Grades haben maximal 5 Nullstellen - das ist wichtig für Klausuren! Der Grad der Funktion bestimmt auch das Verhalten im Unendlichen.
Das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten $a_5$ entscheidet, wohin der Graph läuft. Bei ungeradem Grad und positivem : links von , rechts nach .
Den y-Achsenabschnitt erkennst du am konstanten Term . Wenn , dann schneidet der Graph die y-Achse bei .
Graphen zuordnen funktioniert am besten, wenn du systematisch die Eigenschaften vergleichst: Grad der Funktion, Verhalten im Unendlichen, y-Achsenabschnitt.
Merkhilfe: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch, gerade Funktionen sind achsensymmetrisch - das siehst du direkt an den Exponenten!
Die systematische Herangehensweise ist entscheidend für deinen Erfolg. Bei Schnittpunkten setzt du die Funktionen gleich und löst die entstehende Gleichung schrittweise.
Fehler vermeiden: Achte darauf, dass du beim Umformen immer alle Terme richtig verschiebst. $16x - 16 = 8x^2 - 24x + 160 = 8x^2 - 40x + 32$ nach dem Umstellen.
Die p-q-Formel wendest du nach dem Vereinfachen an: gibt .
Probe machen ist immer smart! Setz deine Lösungen zurück in die ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzugehen.
Funktionswerte berechnen ist straightforward: Einfach den x-Wert einsetzen. Für erhältst du den Punkt .
Bei Nullstellenberechnung von löst du $2x^2 - 4 = 0x = \pm\sqrt{2}$ ergibt. Das sind deine x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet.
Wurzeln vereinfachen: - das macht deine Antworten sauberer und zeigt, dass du den Stoff wirklich verstehst.
Kontroll-Trick: Setze deine berechneten Schnittpunkte in beide ursprünglichen Funktionen ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!
Die y-Achsenabschnitte liest du direkt ab oder berechnest sie mit : bedeutet Schnittpunkt bei .
Funktionen vergleichen wird in Textaufgaben oft verlangt. Bei den Raketen erkennst du an den y-Achsenabschnitten die Starthöhen: startet bei 3,2 Einheiten, bei 9 Einheiten.
Die Lösung von Schnittpunkten wie $2x^2 - 4 = -x^2 + 83x^2 = 12x^2 = 4x = \pm 2$.
Probe bei Schnittpunkten: Für muss sowohl als auch rauskommen - dann hast du den Schnittpunkt richtig berechnet.
In Anwendungsaufgaben interpretierst du die mathematischen Ergebnisse im Kontext. Der y-Achsenabschnitt einer Raketenbahn ist die Starthöhe, die Nullstelle ist der Landepunkt.
Praxis-Tipp: Skizziere dir die Funktionen grob - das hilft beim Verstehen und beim Überprüfen deiner Rechnungen!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Sara
@sxy
Diese Klausur behandelt die wichtigsten Konzepte zu ganzrationalen Funktionen - von quadratischen Gleichungen über Nullstellen bis hin zu Potenzfunktionen. Du lernst hier, wie du systematisch mit verschiedenen Funktionstypen umgehst und ihre Eigenschaften bestimmst.
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Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel. Bei der ersten Aufgabe musst du zuerst alles auf eine Seite bringen, dann die Formel anwenden.
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen wie ist das einfach - bei quadratischen brauchst du wieder die Lösungsformel.
Der y-Achsenabschnitt ist super easy: Einfach in die Funktion einsetzen. Das gibt dir den Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet.
Tipp: Schnittpunkte von zwei Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt: - dann nach x auflösen!
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Schnittpunkte von Parabeln berechnest du genauso wie bei anderen Funktionen - gleichsetzen und auflösen. Bei und erhältst du eine neue quadratische Gleichung.
Die Raketenaufgabe zeigt dir, wie Mathe im echten Leben funktioniert. Du kannst aus den Funktionsgleichungen ablesen, wo die Raketen starten und wo sie landen (Nullstellen).
Potenzfunktionen wie haben besondere Eigenschaften. Sie sind oft punktsymmetrisch zum Ursprung - das erkennst du daran, dass nur ungerade Exponenten vorkommen.
Bei der Symmetrie gilt: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch.
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Ganzrationale Funktionen 5. Grades haben maximal 5 Nullstellen - das ist wichtig für Klausuren! Der Grad der Funktion bestimmt auch das Verhalten im Unendlichen.
Das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten $a_5$ entscheidet, wohin der Graph läuft. Bei ungeradem Grad und positivem : links von , rechts nach .
Den y-Achsenabschnitt erkennst du am konstanten Term . Wenn , dann schneidet der Graph die y-Achse bei .
Graphen zuordnen funktioniert am besten, wenn du systematisch die Eigenschaften vergleichst: Grad der Funktion, Verhalten im Unendlichen, y-Achsenabschnitt.
Merkhilfe: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch, gerade Funktionen sind achsensymmetrisch - das siehst du direkt an den Exponenten!
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Die p-q-Formel wendest du nach dem Vereinfachen an: gibt .
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Wurzeln vereinfachen: - das macht deine Antworten sauberer und zeigt, dass du den Stoff wirklich verstehst.
Kontroll-Trick: Setze deine berechneten Schnittpunkte in beide ursprünglichen Funktionen ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!
Die y-Achsenabschnitte liest du direkt ab oder berechnest sie mit : bedeutet Schnittpunkt bei .
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Funktionen vergleichen wird in Textaufgaben oft verlangt. Bei den Raketen erkennst du an den y-Achsenabschnitten die Starthöhen: startet bei 3,2 Einheiten, bei 9 Einheiten.
Die Lösung von Schnittpunkten wie $2x^2 - 4 = -x^2 + 83x^2 = 12x^2 = 4x = \pm 2$.
Probe bei Schnittpunkten: Für muss sowohl als auch rauskommen - dann hast du den Schnittpunkt richtig berechnet.
In Anwendungsaufgaben interpretierst du die mathematischen Ergebnisse im Kontext. Der y-Achsenabschnitt einer Raketenbahn ist die Starthöhe, die Nullstelle ist der Landepunkt.
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Entdecken Sie die Grundlagen der linearen und quadratischen Funktionen. Lernen Sie, Funktionsgleichungen aufzustellen, Nullstellen zu berechnen und Schnittpunkte mit den Achsen zu bestimmen. Diese Zusammenfassung bietet klare Anleitungen zur Scheitelpunktform und deren Umwandlung in die allgemeine Form. Ideal für die Vorbereitung auf Tests und Prüfungen.
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MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
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MatheErfahren Sie, wie Sie von der Scheitelpunktform zur Normalform und umgekehrt gelangen. Diese Anleitung bietet eine Schritt-für-Schritt-Erklärung mit Beispielen zur quadratischen Ergänzung und zur Anwendung binomischer Formeln. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über quadratische Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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