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Mathe

10. Dez. 2025

1.536

6 Seiten

Quadratische und Ganzrationale Funktionen: Parabeln und Potenzfunktionen leicht erklärt

S

Sara @sxy

Diese Klausur behandelt die wichtigsten Konzepte zu ganzrationalen Funktionen - von quadratischen Gleichungen über Nullstellen bis hin zu... Mehr anzeigen

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende Gl

Quadratische Gleichungen und Grundlagen

Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel. Bei der ersten Aufgabe x24x+8=20x^2 - 4x + 8 = 20 musst du zuerst alles auf eine Seite bringen, dann die Formel anwenden.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen wie f(x)=16x16f(x) = 16x - 16 ist das einfach - bei quadratischen brauchst du wieder die Lösungsformel.

Der y-Achsenabschnitt ist super easy Einfach x=0x = 0 in die Funktion einsetzen. Das gibt dir den Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet.

Tipp Schnittpunkte von zwei Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt f(x)=g(x)f(x) = g(x) - dann nach x auflösen!

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende Gl

Parabeln und praktische Anwendungen

Schnittpunkte von Parabeln berechnest du genauso wie bei anderen Funktionen - gleichsetzen und auflösen. Bei f(x)=2x24f(x) = 2x^2 - 4 und g(x)=x2+8g(x) = -x^2 + 8 erhältst du eine neue quadratische Gleichung.

Die Raketenaufgabe zeigt dir, wie Mathe im echten Leben funktioniert. Du kannst aus den Funktionsgleichungen ablesen, wo die Raketen starten yAchsenabschnitty-Achsenabschnitt und wo sie landen (Nullstellen).

Potenzfunktionen wie h(x)=110x3h(x) = -\frac{1}{10}x^3 haben besondere Eigenschaften. Sie sind oft punktsymmetrisch zum Ursprung - das erkennst du daran, dass nur ungerade Exponenten vorkommen.

Bei der Symmetrie gilt Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch.

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

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Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen 5. Grades haben maximal 5 Nullstellen - das ist wichtig für Klausuren! Der Grad der Funktion bestimmt auch das Verhalten im Unendlichen.

Das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten $a_5$ entscheidet, wohin der Graph läuft. Bei ungeradem Grad und positivem a5a_5 links von -\infty, rechts nach ++\infty.

Den y-Achsenabschnitt erkennst du am konstanten Term a0a_0. Wenn a0=2a_0 = 2, dann schneidet der Graph die y-Achse bei (02)(0|2).

Graphen zuordnen funktioniert am besten, wenn du systematisch die Eigenschaften vergleichst Grad der Funktion, Verhalten im Unendlichen, y-Achsenabschnitt.

Merkhilfe Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch, gerade Funktionen sind achsensymmetrisch - das siehst du direkt an den Exponenten!

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

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Lösungsstrategien und Rechenwege

Die systematische Herangehensweise ist entscheidend für deinen Erfolg. Bei Schnittpunkten setzt du die Funktionen gleich und löst die entstehende Gleichung schrittweise.

Fehler vermeiden Achte darauf, dass du beim Umformen immer alle Terme richtig verschiebst. 16x16=8x224x+1616x - 16 = 8x^2 - 24x + 16 wird zu 0=8x240x+320 = 8x^2 - 40x + 32 nach dem Umstellen.

Die p-q-Formel wendest du nach dem Vereinfachen an x25x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 gibt x1,2=52±2544x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}.

Probe machen ist immer smart! Setz deine Lösungen zurück in die ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzugehen.

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

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Praktische Berechnungen und Kontrolle

Funktionswerte berechnen ist straightforward Einfach den x-Wert einsetzen. Für f(4)=16416=48f(4) = 16 \cdot 4 - 16 = 48 erhältst du den Punkt (448)(4|48).

Bei Nullstellenberechnung von f(x)=2x24f(x) = 2x^2 - 4 löst du 2x24=02x^2 - 4 = 0, was x=±2x = \pm\sqrt{2} ergibt. Das sind deine x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet.

Wurzeln vereinfachen 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} - das macht deine Antworten sauberer und zeigt, dass du den Stoff wirklich verstehst.

Kontroll-Trick Setze deine berechneten Schnittpunkte in beide ursprünglichen Funktionen ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!

Die y-Achsenabschnitte liest du direkt ab oder berechnest sie mit x=0x = 0 g(0)=8g(0) = 8 bedeutet Schnittpunkt bei (08)(0|8).

Klausur 2 Ganzrationale Funktionen
Name:__________________________________ M GK EF

Aufgabe 1. Quadratische Gleichung

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Funktionsvergleich und Interpretation

Funktionen vergleichen wird in Textaufgaben oft verlangt. Bei den Raketen erkennst du an den y-Achsenabschnitten die Starthöhen f(x)f(x) startet bei 3,2 Einheiten, g(x)g(x) bei 9 Einheiten.

Die Lösung von Schnittpunkten wie 2x24=x2+82x^2 - 4 = -x^2 + 8 führt zu 3x2=123x^2 = 12, also x2=4x^2 = 4 und damit x=±2x = \pm 2.

Probe bei Schnittpunkten Für x=2x = 2 muss sowohl f(2)=4f(2) = 4 als auch g(2)=4g(2) = 4 rauskommen - dann hast du den Schnittpunkt (24)(2|4) richtig berechnet.

In Anwendungsaufgaben interpretierst du die mathematischen Ergebnisse im Kontext. Der y-Achsenabschnitt einer Raketenbahn ist die Starthöhe, die Nullstelle ist der Landepunkt.

Praxis-Tipp Skizziere dir die Funktionen grob - das hilft beim Verstehen und beim Überprüfen deiner Rechnungen!

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Diese Klausur behandelt die wichtigsten Konzepte zu ganzrationalen Funktionen - von quadratischen Gleichungen über Nullstellen bis hin zu Potenzfunktionen. Du lernst hier, wie du systematisch mit verschiedenen Funktionstypen umgehst und ihre Eigenschaften bestimmst.

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Quadratische Gleichungen und Grundlagen

Quadratische Gleichungen löst du am besten mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel. Bei der ersten Aufgabe x24x+8=20x^2 - 4x + 8 = 20 musst du zuerst alles auf eine Seite bringen, dann die Formel anwenden.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen wie f(x)=16x16f(x) = 16x - 16 ist das einfach - bei quadratischen brauchst du wieder die Lösungsformel.

Der y-Achsenabschnitt ist super easy: Einfach x=0x = 0 in die Funktion einsetzen. Das gibt dir den Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet.

Tipp: Schnittpunkte von zwei Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt: f(x)=g(x)f(x) = g(x) - dann nach x auflösen!

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Schnittpunkte von Parabeln berechnest du genauso wie bei anderen Funktionen - gleichsetzen und auflösen. Bei f(x)=2x24f(x) = 2x^2 - 4 und g(x)=x2+8g(x) = -x^2 + 8 erhältst du eine neue quadratische Gleichung.

Die Raketenaufgabe zeigt dir, wie Mathe im echten Leben funktioniert. Du kannst aus den Funktionsgleichungen ablesen, wo die Raketen starten yAchsenabschnitty-Achsenabschnitt und wo sie landen (Nullstellen).

Potenzfunktionen wie h(x)=110x3h(x) = -\frac{1}{10}x^3 haben besondere Eigenschaften. Sie sind oft punktsymmetrisch zum Ursprung - das erkennst du daran, dass nur ungerade Exponenten vorkommen.

Bei der Symmetrie gilt: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch.

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Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen 5. Grades haben maximal 5 Nullstellen - das ist wichtig für Klausuren! Der Grad der Funktion bestimmt auch das Verhalten im Unendlichen.

Das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten $a_5$ entscheidet, wohin der Graph läuft. Bei ungeradem Grad und positivem a5a_5: links von -\infty, rechts nach ++\infty.

Den y-Achsenabschnitt erkennst du am konstanten Term a0a_0. Wenn a0=2a_0 = 2, dann schneidet der Graph die y-Achse bei (02)(0|2).

Graphen zuordnen funktioniert am besten, wenn du systematisch die Eigenschaften vergleichst: Grad der Funktion, Verhalten im Unendlichen, y-Achsenabschnitt.

Merkhilfe: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch, gerade Funktionen sind achsensymmetrisch - das siehst du direkt an den Exponenten!

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Lösungsstrategien und Rechenwege

Die systematische Herangehensweise ist entscheidend für deinen Erfolg. Bei Schnittpunkten setzt du die Funktionen gleich und löst die entstehende Gleichung schrittweise.

Fehler vermeiden: Achte darauf, dass du beim Umformen immer alle Terme richtig verschiebst. 16x16=8x224x+1616x - 16 = 8x^2 - 24x + 16 wird zu 0=8x240x+320 = 8x^2 - 40x + 32 nach dem Umstellen.

Die p-q-Formel wendest du nach dem Vereinfachen an: x25x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 gibt x1,2=52±2544x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 4}.

Probe machen ist immer smart! Setz deine Lösungen zurück in die ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzugehen.

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Wurzeln vereinfachen: 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} - das macht deine Antworten sauberer und zeigt, dass du den Stoff wirklich verstehst.

Kontroll-Trick: Setze deine berechneten Schnittpunkte in beide ursprünglichen Funktionen ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!

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Probe bei Schnittpunkten: Für x=2x = 2 muss sowohl f(2)=4f(2) = 4 als auch g(2)=4g(2) = 4 rauskommen - dann hast du den Schnittpunkt (24)(2|4) richtig berechnet.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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