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Aktualisiert Mar 17, 2026
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Alles über Quadratische und Lineare Funktionen
H
Henri
@henri1905
1 / 10
Grundlagen von Funktionen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Das kannst du dir wie eine Maschine vorstellen: Du steckst eine Zahl rein und bekommst immer das gleiche Ergebnis raus.
Die Funktionsgleichung ist das Rezept, nach dem deine "Maschine" arbeitet. In der Pfeilschreibweise schreibst du das als f: x → 0,5x.
Mit einer Wertetabelle kannst du verschiedene Punkte berechnen und daraus den Graphen zeichnen. Die Definitionsmenge sind alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst, die Wertemenge alle möglichen y-Werte.
Merktipp: Funktionen sind wie Automaten - gleiche Eingabe führt immer zur gleichen Ausgabe!
Lineare Funktionen verstehen
Die lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt angibt. Der Graph ist immer eine gerade Linie - deshalb brauchst du nur zwei Punkte zum Zeichnen.
Den Differenzenquotienten (die Steigung) berechnest du mit der Formel m = /. Das zeigt dir, wie steil deine Gerade ansteigt oder abfällt.
Wenn du zwei Punkte gegeben hast, berechnest du zuerst die Steigung m mit dem Differenzenquotienten. Dann setzt du einen Punkt in f(x) = mx + b ein und löst nach b auf.
Beispiel: Bei P(-2|1) und Q(3|6) ist m = (6-1)/(3-(-2)) = 1, also f(x) = x + 3
Lagebeziehungen von Geraden
Zwei Geraden können sich auf drei Arten zueinander verhalten: Sie schneiden sich, sind parallel oder sind identisch. Das erkennst du an ihren Steigungen und y-Achsenabschnitten.
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung , aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Identische Geraden haben sowohl gleiche Steigung als auch gleichen y-Achsenabschnitt.
Den Schnittpunkt zweier Geraden findest du, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt und nach x auflöst.
Ein Spezialfall ist die Orthogonalität: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt .
Merkhilfe: Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren!
Schnittwinkel berechnen
Den Steigungswinkel einer Geraden berechnest du mit tan(α) = m. Für negative Steigungen addierst du 180°, um den positiven Winkel zu erhalten.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist die Differenz ihrer Steigungswinkel. Du berechnest beide Winkel einzeln und ziehst sie voneinander ab.
Bei orthogonalen Geraden beträgt der Schnittwinkel immer 90°. Das erkennst du daran, dass m₁ · m₂ = -1 ist.
Tipp: Verwende deinen Taschenrechner für tan⁻¹, um aus der Steigung den Winkel zu berechnen!
Punktprobe durchführen
Mit der Punktprobe überprüfst du, ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden liegt. Du setzt die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob das Ergebnis der y-Koordinate entspricht.
Wenn beide Seiten der Gleichung übereinstimmen, liegt der Punkt auf der Geraden. Stimmen sie nicht überein, liegt er daneben.
Beispiel: Für f(x) = 3x + 4 und Punkt Q(1|7): 7 = 3·1 + 4 = 7 ✓ Der Punkt liegt auf der Geraden!
Schnittpunkte finden
Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 in die Funktion einsetzt. Das Ergebnis ist die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse.
Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt du die Funktionsgleichungen gleich und löst nach x auf. Diesen x-Wert setzt du dann in eine der Gleichungen ein, um die y-Koordinate zu erhalten.
Schritt-für-Schritt: Erst gleichsetzen, dann x berechnen, dann y berechnen - fertig ist dein Schnittpunkt!
Quadratische Funktionen - Die Basics
Quadratische Funktionen haben die Form y = ax² + bx + c (allgemeine Form) oder y = a² + e (Scheitelpunktform). Ihre Graphen sind immer Parabeln.
Die Normalparabel f(x) = x² ist die Grundform. Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel, d verschiebt sie horizontal und e vertikal.
Den Scheitelpunkt berechnest du in der allgemeinen Form mit S = . In der Scheitelpunktform kannst du ihn direkt ablesen: S(d|e).
Merkregel: Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort, wohin die Parabel verschoben wurde!
Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 löst du mit der p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) entscheidet über die Anzahl der Lösungen: positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
Bring deine Gleichung immer erst in die Normalform , bevor du die p-q-Formel anwendest.
Diskriminanten-Check: Berechne zuerst ² - q, um zu wissen, wie viele Lösungen du bekommst!
Funktionsgleichungen rekonstruieren
Bei der Rekonstruktion erstellst du aus gegebenen Informationen die passende Funktionsgleichung. Das ist wie ein Rätsel lösen!
Wähle zuerst den passenden Ansatz: Scheitelpunktform a² + e, wenn du den Scheitelpunkt kennst, oder allgemeine Form ax² + bx + c für drei beliebige Punkte.
Für die Scheitelpunktform brauchst du den Scheitelpunkt plus einen weiteren Punkt. Für die allgemeine Form benötigst du drei Punkte, um a, b und c zu bestimmen.
Strategietipp: Scheitelpunktform ist meist einfacher - nutze sie, wenn möglich!
Übungen und Anwendungen
Hier übst du alle wichtigen Funktionskonzepte an praktischen Beispielen. Du lernst, Definitionsmengen zu bestimmen und zu erkennen, wann eine Zuordnung eine echte Funktion ist.
Bei linearen Funktionen übst du das Aufstellen von Geradengleichungen aus zwei Punkten und das Finden von Schnittpunkten. Die Punktprobe hilft dir zu überprüfen, ob deine Ergebnisse stimmen.
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei Rechtecken und anderen geometrischen Figuren wendest du dein Wissen über parallele und orthogonale Geraden an.
Übungstipp: Arbeite systematisch - erst Steigung, dann y-Achsenabschnitt, dann die komplette Gleichung!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Alles über Quadratische und Lineare Funktionen
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Henri
@henri1905
Funktionen sind eines der wichtigsten Themen in der Mathematik der 9. Klasse. Du lernst hier alles über lineare und quadratische Funktionen - von den Grundbegriff bis hin zu praktischen Berechnungen, die dir in Klassenarbeiten begegnen werden.
Grundlagen von Funktionen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Das kannst du dir wie eine Maschine vorstellen: Du steckst eine Zahl rein und bekommst immer das gleiche Ergebnis raus.
Die Funktionsgleichung ist das Rezept, nach dem deine "Maschine" arbeitet. In der Pfeilschreibweise schreibst du das als f: x → 0,5x.
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Lineare Funktionen verstehen
Die lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt angibt. Der Graph ist immer eine gerade Linie - deshalb brauchst du nur zwei Punkte zum Zeichnen.
Den Differenzenquotienten (die Steigung) berechnest du mit der Formel m = /. Das zeigt dir, wie steil deine Gerade ansteigt oder abfällt.
Wenn du zwei Punkte gegeben hast, berechnest du zuerst die Steigung m mit dem Differenzenquotienten. Dann setzt du einen Punkt in f(x) = mx + b ein und löst nach b auf.
Beispiel: Bei P(-2|1) und Q(3|6) ist m = (6-1)/(3-(-2)) = 1, also f(x) = x + 3
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Lagebeziehungen von Geraden
Zwei Geraden können sich auf drei Arten zueinander verhalten: Sie schneiden sich, sind parallel oder sind identisch. Das erkennst du an ihren Steigungen und y-Achsenabschnitten.
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung , aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Identische Geraden haben sowohl gleiche Steigung als auch gleichen y-Achsenabschnitt.
Den Schnittpunkt zweier Geraden findest du, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt und nach x auflöst.
Ein Spezialfall ist die Orthogonalität: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt .
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Schnittwinkel berechnen
Den Steigungswinkel einer Geraden berechnest du mit tan(α) = m. Für negative Steigungen addierst du 180°, um den positiven Winkel zu erhalten.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist die Differenz ihrer Steigungswinkel. Du berechnest beide Winkel einzeln und ziehst sie voneinander ab.
Bei orthogonalen Geraden beträgt der Schnittwinkel immer 90°. Das erkennst du daran, dass m₁ · m₂ = -1 ist.
Tipp: Verwende deinen Taschenrechner für tan⁻¹, um aus der Steigung den Winkel zu berechnen!
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Punktprobe durchführen
Mit der Punktprobe überprüfst du, ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden liegt. Du setzt die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob das Ergebnis der y-Koordinate entspricht.
Wenn beide Seiten der Gleichung übereinstimmen, liegt der Punkt auf der Geraden. Stimmen sie nicht überein, liegt er daneben.
Beispiel: Für f(x) = 3x + 4 und Punkt Q(1|7): 7 = 3·1 + 4 = 7 ✓ Der Punkt liegt auf der Geraden!
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Schnittpunkte finden
Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 in die Funktion einsetzt. Das Ergebnis ist die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse.
Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt du die Funktionsgleichungen gleich und löst nach x auf. Diesen x-Wert setzt du dann in eine der Gleichungen ein, um die y-Koordinate zu erhalten.
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Quadratische Funktionen - Die Basics
Quadratische Funktionen haben die Form y = ax² + bx + c (allgemeine Form) oder y = a² + e (Scheitelpunktform). Ihre Graphen sind immer Parabeln.
Die Normalparabel f(x) = x² ist die Grundform. Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel, d verschiebt sie horizontal und e vertikal.
Den Scheitelpunkt berechnest du in der allgemeinen Form mit S = . In der Scheitelpunktform kannst du ihn direkt ablesen: S(d|e).
Merkregel: Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort, wohin die Parabel verschoben wurde!
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Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 löst du mit der p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) entscheidet über die Anzahl der Lösungen: positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
Bring deine Gleichung immer erst in die Normalform , bevor du die p-q-Formel anwendest.
Diskriminanten-Check: Berechne zuerst ² - q, um zu wissen, wie viele Lösungen du bekommst!
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Funktionsgleichungen rekonstruieren
Bei der Rekonstruktion erstellst du aus gegebenen Informationen die passende Funktionsgleichung. Das ist wie ein Rätsel lösen!
Wähle zuerst den passenden Ansatz: Scheitelpunktform a² + e, wenn du den Scheitelpunkt kennst, oder allgemeine Form ax² + bx + c für drei beliebige Punkte.
Für die Scheitelpunktform brauchst du den Scheitelpunkt plus einen weiteren Punkt. Für die allgemeine Form benötigst du drei Punkte, um a, b und c zu bestimmen.
Strategietipp: Scheitelpunktform ist meist einfacher - nutze sie, wenn möglich!
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Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei Rechtecken und anderen geometrischen Figuren wendest du dein Wissen über parallele und orthogonale Geraden an.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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