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28. Nov. 2025
•
Henri
@henri1905
Funktionen sind eines der wichtigsten Themen in der Mathematik der... Mehr anzeigen
Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Das kannst du dir wie eine Maschine vorstellen: Du steckst eine Zahl rein und bekommst immer das gleiche Ergebnis raus.
Die Funktionsgleichung ist das Rezept, nach dem deine "Maschine" arbeitet. In der Pfeilschreibweise schreibst du das als f: x → 0,5x.
Mit einer Wertetabelle kannst du verschiedene Punkte berechnen und daraus den Graphen zeichnen. Die Definitionsmenge sind alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst, die Wertemenge alle möglichen y-Werte.
Merktipp: Funktionen sind wie Automaten - gleiche Eingabe führt immer zur gleichen Ausgabe!
Die lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt angibt. Der Graph ist immer eine gerade Linie - deshalb brauchst du nur zwei Punkte zum Zeichnen.
Den Differenzenquotienten (die Steigung) berechnest du mit der Formel m = /. Das zeigt dir, wie steil deine Gerade ansteigt oder abfällt.
Wenn du zwei Punkte gegeben hast, berechnest du zuerst die Steigung m mit dem Differenzenquotienten. Dann setzt du einen Punkt in f(x) = mx + b ein und löst nach b auf.
Beispiel: Bei P(-2|1) und Q(3|6) ist m = (6-1)/(3-(-2)) = 1, also f(x) = x + 3
Zwei Geraden können sich auf drei Arten zueinander verhalten: Sie schneiden sich, sind parallel oder sind identisch. Das erkennst du an ihren Steigungen und y-Achsenabschnitten.
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung , aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Identische Geraden haben sowohl gleiche Steigung als auch gleichen y-Achsenabschnitt.
Den Schnittpunkt zweier Geraden findest du, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt und nach x auflöst.
Ein Spezialfall ist die Orthogonalität: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt .
Merkhilfe: Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren!
Den Steigungswinkel einer Geraden berechnest du mit tan(α) = m. Für negative Steigungen addierst du 180°, um den positiven Winkel zu erhalten.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist die Differenz ihrer Steigungswinkel. Du berechnest beide Winkel einzeln und ziehst sie voneinander ab.
Bei orthogonalen Geraden beträgt der Schnittwinkel immer 90°. Das erkennst du daran, dass m₁ · m₂ = -1 ist.
Tipp: Verwende deinen Taschenrechner für tan⁻¹, um aus der Steigung den Winkel zu berechnen!
Mit der Punktprobe überprüfst du, ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden liegt. Du setzt die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob das Ergebnis der y-Koordinate entspricht.
Wenn beide Seiten der Gleichung übereinstimmen, liegt der Punkt auf der Geraden. Stimmen sie nicht überein, liegt er daneben.
Beispiel: Für f(x) = 3x + 4 und Punkt Q(1|7): 7 = 3·1 + 4 = 7 ✓ Der Punkt liegt auf der Geraden!
Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 in die Funktion einsetzt. Das Ergebnis ist die y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse.
Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt du die Funktionsgleichungen gleich und löst nach x auf. Diesen x-Wert setzt du dann in eine der Gleichungen ein, um die y-Koordinate zu erhalten.
Schritt-für-Schritt: Erst gleichsetzen, dann x berechnen, dann y berechnen - fertig ist dein Schnittpunkt!
Quadratische Funktionen haben die Form y = ax² + bx + c (allgemeine Form) oder y = a² + e (Scheitelpunktform). Ihre Graphen sind immer Parabeln.
Die Normalparabel f(x) = x² ist die Grundform. Der Parameter a streckt oder staucht die Parabel, d verschiebt sie horizontal und e vertikal.
Den Scheitelpunkt berechnest du in der allgemeinen Form mit S = . In der Scheitelpunktform kannst du ihn direkt ablesen: S(d|e).
Merkregel: Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort, wohin die Parabel verschoben wurde!
Quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 löst du mit der p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) entscheidet über die Anzahl der Lösungen: positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.
Bring deine Gleichung immer erst in die Normalform , bevor du die p-q-Formel anwendest.
Diskriminanten-Check: Berechne zuerst ² - q, um zu wissen, wie viele Lösungen du bekommst!
Bei der Rekonstruktion erstellst du aus gegebenen Informationen die passende Funktionsgleichung. Das ist wie ein Rätsel lösen!
Wähle zuerst den passenden Ansatz: Scheitelpunktform a² + e, wenn du den Scheitelpunkt kennst, oder allgemeine Form ax² + bx + c für drei beliebige Punkte.
Für die Scheitelpunktform brauchst du den Scheitelpunkt plus einen weiteren Punkt. Für die allgemeine Form benötigst du drei Punkte, um a, b und c zu bestimmen.
Strategietipp: Scheitelpunktform ist meist einfacher - nutze sie, wenn möglich!
Hier übst du alle wichtigen Funktionskonzepte an praktischen Beispielen. Du lernst, Definitionsmengen zu bestimmen und zu erkennen, wann eine Zuordnung eine echte Funktion ist.
Bei linearen Funktionen übst du das Aufstellen von Geradengleichungen aus zwei Punkten und das Finden von Schnittpunkten. Die Punktprobe hilft dir zu überprüfen, ob deine Ergebnisse stimmen.
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei Rechtecken und anderen geometrischen Figuren wendest du dein Wissen über parallele und orthogonale Geraden an.
Übungstipp: Arbeite systematisch - erst Steigung, dann y-Achsenabschnitt, dann die komplette Gleichung!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Henri
@henri1905
Funktionen sind eines der wichtigsten Themen in der Mathematik der 9. Klasse. Du lernst hier alles über lineare und quadratische Funktionen - von den Grundbegriff bis hin zu praktischen Berechnungen, die dir in Klassenarbeiten begegnen werden.
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Eine Funktion ist nichts anderes als eine eindeutige Zuordnung - jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Das kannst du dir wie eine Maschine vorstellen: Du steckst eine Zahl rein und bekommst immer das gleiche Ergebnis raus.
Die Funktionsgleichung ist das Rezept, nach dem deine "Maschine" arbeitet. In der Pfeilschreibweise schreibst du das als f: x → 0,5x.
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Wenn du zwei Punkte gegeben hast, berechnest du zuerst die Steigung m mit dem Differenzenquotienten. Dann setzt du einen Punkt in f(x) = mx + b ein und löst nach b auf.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahre alles über quadratische Funktionen: Darstellungsformen, Scheitelpunkte, Nullstellen, und die Transformation von Parabeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur quadratischen Ergänzung und zur Berechnung von Extremwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten in Funktionen, einschließlich der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst spezifische Beispiele aus Lambacher Schweizer, S. 38, Nr. 1b, c und Nr. 20, und bietet klare Schritte zur Bestimmung der Bedingungen für Extrempunkte. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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