Mathematik

Volumenberechnungsmethoden mittels Integration

Volumen der Rotation

265

•

2. Jan. 2026

•

2 Seiten

Rotationskörper und Volumenformeln erklärt

lea :)

@lea_lqzi

Rotationskörperentstehen, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert -... Mehr anzeigen

Rotationskörper
IDEE: Zerlegung in zylinder
AX
Bsp: f(x)=2x-4
ct
kç
b
Fläche zwischen ke und der x-Achse
zwischen a und b rotiert um die x-A

Grundlagen der Rotationskörper

Wenn eine Fläche zwischen einer Funktion f(x) und der x-Achse um die x-Achse rotiert, entsteht ein Rotationskörper. Die clevere Idee dahinter: Wir zerlegen den Körper in unendlich viele dünne Zylinder.

Jeder Zylinder hat den Radius f(x) und die Höhe Δx. Das Volumen eines einzelnen Zylinders ist also π·(f(x))²·Δx. Wenn wir alle Zylinder addieren und die Anzahl gegen unendlich gehen lassen, erhalten wir die Volumenformel.

Die Volumenformel für Rotationskörper lautet: V = π ∫ $a bis b$ (f(x))² dx. Das Quadrieren ist wichtig, weil wir die Kreisfläche π·r² benötigen.

💡 Merktipp: Das π kommt von der Kreisfläche, das Quadrat von (f(x))² ist der Radius zum Quadrat!

Falls die Fläche zwischen zwei Funktionen liegt, ziehst du einfach das kleinere vom größeren Volumen ab: V = π ∫ $a bis b$ $(f(x))² - (g(x))²$ dx.

Spezielle Rotationskörper: Kegel und Kugel

Mit der allgemeinen Volumenformel kannst du auch bekannte Körper wie Kegel und Kugel herleiten. Das zeigt dir, dass die Formel wirklich funktioniert!

Für einen Kegel verwendest du f(x) = x. Die Rotation einer Geraden um die x-Achse ergibt tatsächlich einen Kegel - probier's mal gedanklich aus!

Bei einer Kugel wird's etwas trickreicher. Der Radius ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten x und y. Mit dem Satz des Pythagoras gilt: x² + y² = r².

🎯 Praxis-Tipp: Löse die Gleichung nach y auf: y = √ $r² - x²$ , dann quadriere für die Volumenformel!

Wenn du diese Funktion in die Volumenformel einsetzt, erhältst du tatsächlich das bekannte Kugelvolumen V = 4/3·π·r³. Ziemlich cool, oder?

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4.9/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Rotationskörper entstehen, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert - stell dir vor, du drehst eine Kurve wie einen Töpfer sein Tongefäß. Das Volumen solcher Körper kannst du mit Integralen berechnen, was in der Analysis super wichtig ist.

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Die Volumenformel für Rotationskörper lautet: V = π ∫ $a bis b$ (f(x))² dx. Das Quadrieren ist wichtig, weil wir die Kreisfläche π·r² benötigen.

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Spezielle Rotationskörper: Kegel und Kugel

Mit der allgemeinen Volumenformel kannst du auch bekannte Körper wie Kegel und Kugel herleiten. Das zeigt dir, dass die Formel wirklich funktioniert!

Für einen Kegel verwendest du f(x) = x. Die Rotation einer Geraden um die x-Achse ergibt tatsächlich einen Kegel - probier's mal gedanklich aus!

Bei einer Kugel wird's etwas trickreicher. Der Radius ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten x und y. Mit dem Satz des Pythagoras gilt: x² + y² = r².

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