Stetigkeit von Funktionen

Du kennst das bestimmt: Manche Graphen kannst du zeichnen, ohne den Stift abzusetzen, andere haben "Sprünge". Das Konzept der Stetigkeit macht dieses Gefühl mathematisch präzise.

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle x₀ stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: Die Funktion muss dort definiert sein, einen Grenzwert besitzen, und dieser Grenzwert muss gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch schreibst du das als f(x₀) = lim(x→x₀) f(x).

Bei abschnittweise definierten Funktionen prüfst du Stetigkeit an den Übergangsstellen. Du berechnest den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert und vergleichst sie mit dem Funktionswert. Sind alle drei gleich, ist die Funktion stetig - sonst nicht.

Merktipp: Bei Sprungstellen sind die einseitigen Grenzwerte unterschiedlich, bei hebbaren Unstetigkeiten ist nur der Funktionswert "falsch".

Besonders wichtig wird das bei parametrisierten Funktionen. Hier bestimmst du die Parameter so, dass die Stetigkeitsbedingung erfüllt wird. Du setzt einfach die Grenzwerte gleich und löst nach dem gesuchten Parameter auf.