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Mathe
25. Nov. 2025
2.752
5 Seiten
Hadjar @h4dj7r
Stetigkeit ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Funktionen - und eigentlich viel einfacher als sie klingt! Im Grunde... Mehr anzeigen
Stetigkeit bedeutet ganz einfach Der Graph einer Funktion hat keine Sprünge oder Löcher. Wenn du den Funktionsgraphen zeichnest, kannst du den Stift die ganze Zeit auf dem Papier lassen.
Mathematisch ausgedrückt ist eine Funktion an der Stelle x₀ stetig, wenn der Grenzwert existiert und genau dem Funktionswert entspricht. Das klingt kompliziert, ist aber nur die formale Version von "kein Sprung im Graphen".
Merktipp Stelle dir vor, eine Ameise läuft den Graphen entlang - bei einer stetigen Funktion muss sie nirgendwo springen!
Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein Der Funktionswert f(x₀) muss existieren, der Grenzwert muss existieren, und beide müssen gleich sein.
Eine Funktion ist auf dem Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle dazwischen stetig ist. An den Randpunkten reicht es, wenn sie von einer Seite stetig ist - bei a rechtsseitig, bei b linksseitig.
Es gibt mehrere Methoden, um Stetigkeit nachzuweisen. Die einfachste ist der "Stift-Test" beim Zeichnen. Mathematisch genauer prüfst du die drei Bedingungen aus Seite 1.
Praxis-Tipp Nutze die lokale Natur der Stetigkeit - wenn eine Funktion um einen Punkt herum dieselbe Vorschrift hat wie eine bekannte stetige Funktion, ist sie dort auch stetig.
Das Epsilon-Delta-Kriterium lernst du erst an der Uni kennen - für die Schule reichen die anderen Methoden völlig aus.
Unstetigkeit tritt aus drei Hauptgründen auf, die du dir gut merken kannst. Erstens Die Funktion ist an der Stelle gar nicht definiert - es gibt also ein Loch im Graphen.
Zweitens Der Grenzwert existiert nicht, weil die Funktion von links und rechts unterschiedliche Werte anstrebt. Das nennt man eine Sprungstelle - wie eine Treppe im Graphen.
Drittens Der Funktionswert und der Grenzwert stimmen nicht überein. Die Funktion macht zwar keinen Sprung, aber hat einen "herausgehobenen" oder "heruntergezogenen" Punkt.
Visualisierung hilft Zeichne dir diese drei Fälle auf - dann erkennst du Unstetigkeit sofort in Aufgaben!
Hier siehst du, wie du Stetigkeit überprüfst bei einer stückweise definierten Funktion. Du musst nur die Übergangsstelle x₀ = 1,5 kontrollieren, da die einzelnen Teile für sich stetig sind.
Der Trick ist Berechne den Funktionswert f(1,5) und die Grenzwerte von links und rechts. Wenn alle drei gleich 1,5 sind, ist die Funktion stetig - Mission erfolgreich!
Bei einfachen Funktionen wie f(x) = x² ist der Nachweis noch direkter. Polynome sind überall stetig, also musst du nur die drei Bedingungen formal abhaken.
Effizienz-Tipp Bei bekannten Funktionstypen (Polynome, Exponentialfunktionen) kannst du oft direkt sagen, dass sie stetig sind!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie alles über die Stetigkeit von Funktionen, einschließlich der Definition von Stetigkeit an einer Stelle und auf einem Intervall. Dieses Dokument bietet klare Beispiele und Erklärungen zu kontinuierlichen Funktionen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheErfahren Sie alles über die Stetigkeit von Funktionen in diesem umfassenden Lernmaterial. Wir behandeln die Voraussetzungen für die Stetigkeit, Grenzwertbetrachtungen und bieten zahlreiche Übungsaufgaben zur Vertiefung. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse über kontinuierliche Funktionen erweitern möchten.
MatheDiese Ausarbeitung behandelt die Aufgaben 8 und 10 aus dem Lambacher Schweizer Buch, die sich mit Ableitungen und deren Anwendungen in Hefekulturen und Temperaturveränderungen befassen. Die Analyse umfasst das Wachstum von Hefekulturen über 22 Stunden sowie die Temperaturentwicklung im Ofen. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die sich mit Differentialrechnung beschäftigen.
MatheErfahren Sie alles über Umkehrfunktionen: Definition, Bestimmung und Ableitung. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Umkehrfunktionen, einschließlich der Ableitungsformel und praktischer Beispiele. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die verschiedenen Arten von Funktionstransformationen, einschließlich Verschiebungen, Skalierungen und Spiegelungen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und mathematische Erklärungen für die Transformationen von Funktionen wie \(f(x) = x^2\). Ideal für Studierende, die sich auf Graphen und deren Veränderungen konzentrieren.
MatheErfahren Sie alles über Umkehrfunktionen: Definition, Berechnung, und wichtige Beispiele. Lernen Sie, wie man den Definitions- und Wertebereich bestimmt und die Funktionsgleichung umstellt. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Hadjar
@h4dj7r
Stetigkeit ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Funktionen - und eigentlich viel einfacher als sie klingt! Im Grunde geht es nur darum, ob du beim Zeichnen einer Funktion den Stift absetzen musst oder nicht.
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Stetigkeit bedeutet ganz einfach: Der Graph einer Funktion hat keine Sprünge oder Löcher. Wenn du den Funktionsgraphen zeichnest, kannst du den Stift die ganze Zeit auf dem Papier lassen.
Mathematisch ausgedrückt ist eine Funktion an der Stelle x₀ stetig, wenn der Grenzwert existiert und genau dem Funktionswert entspricht. Das klingt kompliziert, ist aber nur die formale Version von "kein Sprung im Graphen".
Merktipp: Stelle dir vor, eine Ameise läuft den Graphen entlang - bei einer stetigen Funktion muss sie nirgendwo springen!
Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Der Funktionswert f(x₀) muss existieren, der Grenzwert muss existieren, und beide müssen gleich sein.
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Eine Funktion ist auf dem Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle dazwischen stetig ist. An den Randpunkten reicht es, wenn sie von einer Seite stetig ist - bei a rechtsseitig, bei b linksseitig.
Es gibt mehrere Methoden, um Stetigkeit nachzuweisen. Die einfachste ist der "Stift-Test" beim Zeichnen. Mathematisch genauer prüfst du die drei Bedingungen aus Seite 1.
Praxis-Tipp: Nutze die lokale Natur der Stetigkeit - wenn eine Funktion um einen Punkt herum dieselbe Vorschrift hat wie eine bekannte stetige Funktion, ist sie dort auch stetig.
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Erfahren Sie alles über die Stetigkeit von Funktionen, einschließlich der Definition von Stetigkeit an einer Stelle und auf einem Intervall. Dieses Dokument bietet klare Beispiele und Erklärungen zu kontinuierlichen Funktionen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheErfahren Sie alles über die Stetigkeit von Funktionen in diesem umfassenden Lernmaterial. Wir behandeln die Voraussetzungen für die Stetigkeit, Grenzwertbetrachtungen und bieten zahlreiche Übungsaufgaben zur Vertiefung. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse über kontinuierliche Funktionen erweitern möchten.
MatheDiese Ausarbeitung behandelt die Aufgaben 8 und 10 aus dem Lambacher Schweizer Buch, die sich mit Ableitungen und deren Anwendungen in Hefekulturen und Temperaturveränderungen befassen. Die Analyse umfasst das Wachstum von Hefekulturen über 22 Stunden sowie die Temperaturentwicklung im Ofen. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die sich mit Differentialrechnung beschäftigen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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