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8. Feb. 2026
•
HAK
@knowunity2468
Die Stochastik ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich... Mehr anzeigen
Bei der Stochastik geht es um Zufallsexperimente und ihre möglichen Ergebnisse. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ergebnisse eines Experiments. Beim Würfelwurf ist S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mehrere Ergebnisse können zu einem Ereignis zusammengefasst werden, wie "alle geraden Zahlen" beim Würfeln: E = {2, 4, 6}.
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Laplace-Regel besagt: P(E) = Anzahl günstiger Ereignisse/Anzahl möglicher Ereignisse. Wirfst du einen fairen Würfel, ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl 1/6.
Wenn du ein Experiment mehrfach wiederholst, erhältst du eine absolute Häufigkeit (wie oft ein Ereignis eingetreten ist) und eine relative Häufigkeit (absolute Häufigkeit geteilt durch Versuchsanzahl). Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchsanzahl der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit annähert.
💡 Merke: Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit P(K) = 1 (100%), während ein unmögliches Ereignis die Wahrscheinlichkeit P(L) = 0 (0%) hat. Diese Werte bilden die Grenzen jeder Wahrscheinlichkeit!
Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. Eine wichtige Regel ist: P(E) + P$\overline{E}$ = 1. Dies ist sehr nützlich, wenn das Gegenereignis einfacher zu berechnen ist als das eigentliche Ereignis.
Bei mehreren Ereignissen können wir "Oder"- und "Und"-Verknüpfungen bilden. bedeutet: Alle Ergebnisse, die zu ODER gehören. bedeutet: Alle Ergebnisse, die zu UND gehören. Diese Verknüpfungen helfen dir bei komplexeren Wahrscheinlichkeitsberechnungen.
Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert du durchschnittlich erwarten kannst. Die Formel lautet: E = x₁P₁ + x₂P₂ + ... (x steht für mögliche Werte, P für deren Wahrscheinlichkeiten). Wenn der Erwartungswert positiv ist, lohnt sich ein Spiel langfristig für dich. Ist er negativ, verlierst du langfristig.
🎲 Praxis-Tipp: Bei Glücksspielen ist der Erwartungswert fast immer negativ! So kannst du mathematisch beweisen, dass das Casino langfristig immer gewinnt.
Baumdiagramme sind perfekte Werkzeuge, um mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darzustellen. Die Pfadmultiplikation besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten. Zum Beispiel: Bei "Zweimal blau" wäre P(b,b) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%.
Die Pfadaddition besagt, dass du für Ereignisse mit mehreren möglichen Pfaden die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten addieren musst. So erhältst du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für "Genau einmal rot" durch Addition aller Pfade, die dieses Ergebnis liefern.
In Vierfeldertafeln werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen übersichtlich dargestellt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P₁(B) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass Ereignis B eintritt, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P₁(B) = P(A∩B)/P(A).
📊 Praxistipp: Wenn du die Aufgabenstellung in einem Baumdiagramm darstellst, siehst du sofort, welche Pfade zum gesuchten Ereignis gehören. Das hilft dir, keine Möglichkeit zu übersehen!
Die Kombinatorik hilft dir zu berechnen, wie viele verschiedene Möglichkeiten es bei Auswahlproblemen gibt. Dabei unterscheiden wir, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholungen erlaubt sind.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Die Formel lautet: . Das ist wichtig für Lottozahlen oder wenn du aus einer Gruppe von Personen ein Team zusammenstellst.
Für das Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge gibt es zwei wichtige Sätze: Verteilst du n Gegenstände auf k Plätze, gibt es dafür n! Möglichkeiten, wenn n=k. Ist n>k, gibt es Möglichkeiten. Dies ist beispielsweise relevant bei Rangfolgen oder Anordnungen.
Beim Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge gibt es Möglichkeiten. Ein typisches Beispiel ist das Würfeln mit mehreren Würfeln oder die Erstellung von PIN-Codes.
🔢 Kombinatorische Berechnungen sind der Schlüssel zu vielen Wahrscheinlichkeitsproblemen. Überlege immer zuerst: Ist die Reihenfolge wichtig? Darf ich dasselbe Element mehrmals wählen?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Paul T
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HAK
@knowunity2468
Die Stochastik ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich mit Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimenten beschäftigt. In diesem Grundlagenkurs lernst du, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet und mit verschiedenen Methoden wie Baumdiagrammen und Kombinatorik arbeitet.
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Bei der Stochastik geht es um Zufallsexperimente und ihre möglichen Ergebnisse. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ergebnisse eines Experiments. Beim Würfelwurf ist S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mehrere Ergebnisse können zu einem Ereignis zusammengefasst werden, wie "alle geraden Zahlen" beim Würfeln: E = {2, 4, 6}.
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Laplace-Regel besagt: P(E) = Anzahl günstiger Ereignisse/Anzahl möglicher Ereignisse. Wirfst du einen fairen Würfel, ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl 1/6.
Wenn du ein Experiment mehrfach wiederholst, erhältst du eine absolute Häufigkeit (wie oft ein Ereignis eingetreten ist) und eine relative Häufigkeit (absolute Häufigkeit geteilt durch Versuchsanzahl). Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchsanzahl der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit annähert.
💡 Merke: Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit P(K) = 1 (100%), während ein unmögliches Ereignis die Wahrscheinlichkeit P(L) = 0 (0%) hat. Diese Werte bilden die Grenzen jeder Wahrscheinlichkeit!
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Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. Eine wichtige Regel ist: P(E) + P$\overline{E}$ = 1. Dies ist sehr nützlich, wenn das Gegenereignis einfacher zu berechnen ist als das eigentliche Ereignis.
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Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert du durchschnittlich erwarten kannst. Die Formel lautet: E = x₁P₁ + x₂P₂ + ... (x steht für mögliche Werte, P für deren Wahrscheinlichkeiten). Wenn der Erwartungswert positiv ist, lohnt sich ein Spiel langfristig für dich. Ist er negativ, verlierst du langfristig.
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Baumdiagramme sind perfekte Werkzeuge, um mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darzustellen. Die Pfadmultiplikation besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten. Zum Beispiel: Bei "Zweimal blau" wäre P(b,b) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%.
Die Pfadaddition besagt, dass du für Ereignisse mit mehreren möglichen Pfaden die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten addieren musst. So erhältst du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für "Genau einmal rot" durch Addition aller Pfade, die dieses Ergebnis liefern.
In Vierfeldertafeln werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen übersichtlich dargestellt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P₁(B) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass Ereignis B eintritt, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P₁(B) = P(A∩B)/P(A).
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Die Kombinatorik hilft dir zu berechnen, wie viele verschiedene Möglichkeiten es bei Auswahlproblemen gibt. Dabei unterscheiden wir, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholungen erlaubt sind.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Die Formel lautet: . Das ist wichtig für Lottozahlen oder wenn du aus einer Gruppe von Personen ein Team zusammenstellst.
Für das Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge gibt es zwei wichtige Sätze: Verteilst du n Gegenstände auf k Plätze, gibt es dafür n! Möglichkeiten, wenn n=k. Ist n>k, gibt es Möglichkeiten. Dies ist beispielsweise relevant bei Rangfolgen oder Anordnungen.
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Diese umfassende Zusammenfassung behandelt die Konzepte der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Binomialverteilung, einschließlich praktischer Beispiele und Berechnungen. Ideal für Schüler der 12. Klasse, die sich auf Klausuren vorbereiten. Themen: Baumdiagramme, Wahrscheinlichkeitsberechnungen, und stochastische Probleme.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Stochastik mit Fokus auf die Bernoulli-Formel, Erwartungswert, faires Spiel, Vierfeldertafel, Urnenmodell und hypergeometrische Verteilung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte und deren Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich der Summenregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Additionssatz, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln für Baumdiagramme, Produktregel, Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse. Ideal für Studierende, die ein solides Fundament in der Stochastik aufbauen möchten.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen über Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Fokus auf Sigma-Regeln, Binomialverteilung und stochastische Unabhängigkeit. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den wichtigsten Konzepten, einschließlich der Laplace-Bedingung, Standardabweichung und Prognoseintervalle. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer statistischer Zusammenhänge.
MatheErfahren Sie, wie man die Mindestanzahl an Würfen für eine Bernoulli-Kette berechnet, um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu erreichen. Diese Zusammenfassung behandelt die Aufstellung von Ungleichungen, die Anwendung der Bernoulli-Formel und ein praktisches Beispiel zur Berechnung der erforderlichen Würfe für mindestens 98% Wahrscheinlichkeit. Ideal für Studierende der Stochastik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Erwartungswertberechnung mit praktischen Übungsaufgaben. Diese Zusammenstellung behandelt stochastische Probleme, Wahrscheinlichkeiten und deren Anwendung in Glücksspielen. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die ihre Kenntnisse in Statistik und Wahrscheinlichkeit vertiefen möchten.
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Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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Rohan U
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