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Zentrische Streckung und Strahlensätze einfach erklärt

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30.8.2022

Mathe

Strahlensätze und zentrische Streckung

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Strahlensätze

Zentrische Streckung und Strahlensätze einfach erklärt

Strahlensätze und zentrische Streckung gehören zu den wichtigsten Konzepten in der Geometrie der 8. und 9. Klasse. Diese mathematischen Prinzipien helfen uns, Verhältnisse zwischen Strecken in geometrischen Figuren zu verstehen und zu berechnen. Die zentrische Streckung ermöglicht es, Figuren zu vergrößern oder zu verkleinern, während der Strahlensatz uns erlaubt, unbekannte Längen durch Verhältnisgleichungen zu bestimmen. Diese Konzepte sind eng mit dem wichtigen Thema der Ähnlichkeit verbunden – einem Grundprinzip, das erklärt, wann zwei Figuren dieselbe Form, aber unterschiedliche Größen haben. Durch das Verständnis dieser Themen können wir viele alltägliche Probleme lösen, von der Kartografie bis zur Konstruktion.

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30.8.2022

3904

Strahlensätze und zentrische Streckung Ähnlichkeit Ein Vieleck ist einem anderen ähnlich, wenn...: es durch Verschieben, Drehen, Spiegeln, o

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Arbeitsblatt: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Übungsaufgabe 1: Zentrische Streckung

Ein Rechteck ABCD mit den Ecken A1,11,1, B5,15,1, C5,45,4 und D1,41,4 wird zentrisch vom Ursprung O0,00,0 mit k = 2 gestreckt.

Aufgabe: Berechne die Koordinaten des gestreckten Rechtecks A'B'C'D'.

Lösung:

A'(2·1, 2·1) = A'(2,2)
B'(2·5, 2·1) = B'(10,2)
C'(2·5, 2·4) = C'(10,8)
D'(2·1, 2·4) = D'(2,8)

Übungsaufgabe 2: Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' haben folgende Winkel:

  • α = 40°, β = 60°, γ = 80°
  • α' = 40°, β' = 60°, γ' = 80°

Die Seite AB ist 5 cm lang, und die entsprechende Seite A'B' ist 7,5 cm lang.

Aufgabe: Berechne den Ähnlichkeitsfaktor k und die Längen der übrigen Seiten des Dreiecks A'B'C', wenn BC = 8 cm und AC = 6 cm.

Lösungsansatz: Bei ähnlichen Dreiecken verhält sich jede Seite des neuen Dreiecks zur entsprechenden Seite des ursprünglichen Dreiecks wie der Ähnlichkeitsfaktor k. Dies ist ein grundlegendes Prinzip für das Lösen von Ähnlichkeitsaufgaben.

Lösung:

k = A'B'/AB = 7,5/5 = 1,5
B'C' = k·BC = 1,5·8 = 12 cm
A'C' = k·AC = 1,5·6 = 9 cm

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Übersicht über den 1. und 2. Strahlensatz

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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30. Aug. 2022

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Zentrische Streckung und Strahlensätze einfach erklärt

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Pia

@pia_nlte

Strahlensätze und zentrische Streckung gehören zu den wichtigsten Konzepten in der Geometrie der 8. und 9. Klasse. Diese mathematischen Prinzipien helfen uns, Verhältnisse zwischen Strecken in geometrischen Figuren zu verstehen und zu berechnen. Die zentrische Streckung ermöglicht es, Figuren zu... Mehr anzeigen

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Arbeitsblatt: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Übungsaufgabe 1: Zentrische Streckung

Ein Rechteck ABCD mit den Ecken A1,11,1, B5,15,1, C5,45,4 und D1,41,4 wird zentrisch vom Ursprung O0,00,0 mit k = 2 gestreckt.

Aufgabe: Berechne die Koordinaten des gestreckten Rechtecks A'B'C'D'.

Lösung:

A'(2·1, 2·1) = A'(2,2)
B'(2·5, 2·1) = B'(10,2)
C'(2·5, 2·4) = C'(10,8)
D'(2·1, 2·4) = D'(2,8)

Übungsaufgabe 2: Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' haben folgende Winkel:

  • α = 40°, β = 60°, γ = 80°
  • α' = 40°, β' = 60°, γ' = 80°

Die Seite AB ist 5 cm lang, und die entsprechende Seite A'B' ist 7,5 cm lang.

Aufgabe: Berechne den Ähnlichkeitsfaktor k und die Längen der übrigen Seiten des Dreiecks A'B'C', wenn BC = 8 cm und AC = 6 cm.

Lösungsansatz: Bei ähnlichen Dreiecken verhält sich jede Seite des neuen Dreiecks zur entsprechenden Seite des ursprünglichen Dreiecks wie der Ähnlichkeitsfaktor k. Dies ist ein grundlegendes Prinzip für das Lösen von Ähnlichkeitsaufgaben.

Lösung:

k = A'B'/AB = 7,5/5 = 1,5
B'C' = k·BC = 1,5·8 = 12 cm
A'C' = k·AC = 1,5·6 = 9 cm
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Weiterführende Anwendungen des Strahlensatzes

Der Strahlensatz hat viele fortgeschrittene Anwendungen in der Mathematik und in praktischen Bereichen.

Anwendung in der Optik:

  1. Linsengleichung: Die Linsengleichung in der Optik kann durch den Strahlensatz hergeleitet werden Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite
  2. Schattenwurf: Bei der Projektion von Licht entstehen Schattenfiguren, deren Größe mit dem Strahlensatz berechnet werden kann

Anwendung in der Kartographie:

  1. Maßstabsberechnungen: Der Strahlensatz hilft, Entfernungen auf Karten mit verschiedenen Maßstäben umzurechnen
  2. Ähnlichkeitstransformationen: Bei der Projektion der Erdoberfläche auf Karten werden ähnliche Figuren erzeugt

Erweiterte Anwendung: Der Strahlensatz ist Teil des mathematischen Fundaments für die projektive Geometrie, die in der Computergrafik, Bildverarbeitung und 3D-Modellierung eine wichtige Rolle spielt.

Anwendung in der Technik:

  1. Hebelsysteme: Das Hebelgesetz kann als Anwendung des Strahlensatzes verstanden werden Es beschreibt das Verhältnis zwischen Kraft, Last und Hebelarmen
  2. Getriebe und Übersetzungen: Bei Zahnrädern und Riemenantrieben werden Übersetzungsverhältnisse mit ähnlichen Prinzipien berechnet

Diese vielfältigen Anwendungen zeigen, wie grundlegend der Strahlensatz für viele Bereiche der Wissenschaft und Technik ist.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Lena M

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hans T

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