Trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus begegnen dir nicht nur...
Mathe2.265 aufrufe·Aktualisiert 24. Aug. 2026·2 SeitenTrigonometrische Funktionen erklärt
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Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Stell dir vor, du gehst auf einem Kreis mit Radius 1 spazieren - das ist der Einheitskreis. Für jeden Winkel α findest du einen Punkt P(u/v) auf diesem Kreis. Der Sinus ist einfach die y-Koordinate dieses Punktes, der Cosinus die x-Koordinate .
Das Bogenmaß ist eine andere Art, Winkel zu messen. Statt Grad verwendest du die Bogenlänge auf dem Kreis. Ein ganzer Kreis entspricht 2π statt 360°. So wird aus 30° ganz einfach π/6 im Bogenmaß.
Die Sinusfunktion f = sin schwingt zwischen -1 und 1 hin und her. Ihre Periode beträgt 2π, das heißt, sie wiederholt sich alle 2π Einheiten. Die Nullstellen liegen bei kπ (k ist eine ganze Zahl), die Hochpunkte bei π/2 + kπ.
Die Cosinusfunktion verhält sich ähnlich, ist aber um π/2 nach links verschoben. Während Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist Cosinus achsensymmetrisch zur y-Achse. Beide Funktionen haben dieselbe Amplitude von 1.
Merktipp: sin = y-Koordinate, cos = x-Koordinate am Einheitskreis!
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Die allgemeine Sinusfunktion
Mit der Formel f = a·sin + d kannst du die normale Sinusfunktion in alle Richtungen transformieren. Jeder Parameter hat seine eigene Aufgabe und du musst sie in der richtigen Reihenfolge anwenden.
Der Parameter a bestimmt die Amplitude |a| und streckt die Funktion in y-Richtung. Ist a negativ, wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Der Parameter b verändert die Periode zu p = 2π/b - je größer b, desto häufiger schwingt die Funktion.
Die Parameter c und d verschieben die Funktion: c verschiebt in x-Richtung (nach rechts bei positivem c), d verschiebt in y-Richtung (nach oben bei positivem d). So kannst du jede beliebige Sinusschwingung modellieren.
Die Transformationen werden in dieser Reihenfolge durchgeführt: erst Spiegelung (wenn a < 0), dann Streckungen in y- und x-Richtung, zuletzt die beiden Verschiebungen. Mit dieser Systematik behältst du immer den Überblick!
Praxistipp: Arbeite systematisch - Parameter für Parameter und in der richtigen Reihenfolge!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus begegnen dir nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik und Technik überall. Sie beschreiben Schwingungen, Wellen und periodische Bewegungen - von Musikwellen bis hin zu Wechselstrom.
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Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Stell dir vor, du gehst auf einem Kreis mit Radius 1 spazieren - das ist der Einheitskreis. Für jeden Winkel α findest du einen Punkt P(u/v) auf diesem Kreis. Der Sinus ist einfach die y-Koordinate dieses Punktes, der Cosinus die x-Koordinate .
Das Bogenmaß ist eine andere Art, Winkel zu messen. Statt Grad verwendest du die Bogenlänge auf dem Kreis. Ein ganzer Kreis entspricht 2π statt 360°. So wird aus 30° ganz einfach π/6 im Bogenmaß.
Die Sinusfunktion f = sin schwingt zwischen -1 und 1 hin und her. Ihre Periode beträgt 2π, das heißt, sie wiederholt sich alle 2π Einheiten. Die Nullstellen liegen bei kπ (k ist eine ganze Zahl), die Hochpunkte bei π/2 + kπ.
Die Cosinusfunktion verhält sich ähnlich, ist aber um π/2 nach links verschoben. Während Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist Cosinus achsensymmetrisch zur y-Achse. Beide Funktionen haben dieselbe Amplitude von 1.
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Die allgemeine Sinusfunktion
Mit der Formel f = a·sin + d kannst du die normale Sinusfunktion in alle Richtungen transformieren. Jeder Parameter hat seine eigene Aufgabe und du musst sie in der richtigen Reihenfolge anwenden.
Der Parameter a bestimmt die Amplitude |a| und streckt die Funktion in y-Richtung. Ist a negativ, wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Der Parameter b verändert die Periode zu p = 2π/b - je größer b, desto häufiger schwingt die Funktion.
Die Parameter c und d verschieben die Funktion: c verschiebt in x-Richtung (nach rechts bei positivem c), d verschiebt in y-Richtung (nach oben bei positivem d). So kannst du jede beliebige Sinusschwingung modellieren.
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