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2.828
•
31. Jan. 2026
•
Katie
@katie_1705
Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften sind ein wichtiges Thema in... Mehr anzeigen
Quadratische Funktionen begegnen dir überall - von der Flugbahn eines Balls bis zur Form von Satellitenschüsseln. Die beiden wichtigsten Formen sind die Normalform f(x) = ax² + bx + c und die Scheitelpunktform f(x) = a² + e.
In der Normalform kannst du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen (das ist c). Bei der Scheitelpunktform siehst du sofort den Scheitelpunkt bei (d|e). Das macht die Analyse viel einfacher!
Um zwischen den Formen umzuwandeln, brauchst du die binomischen Formeln und die quadratische Ergänzung. Von Scheitelpunkt- zur Normalform einfach ausmultiplizieren, andersherum die quadratische Ergänzung anwenden.
Für Schnittpunkte mit Geraden setzt du f(x) = g(x) und löst mit der pq-Formel: x = -p/2 ± √. Die Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt.
Merke: Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen.
Nullstellen zu finden ist wie Detektivarbeit - du hast verschiedene Werkzeuge je nach Situation. Bei Funktionen in Faktorform wie f(x) = 3² kannst du die Nullstellen direkt ablesen: x₁ = 3, x₂ = -5, x₃ = 3/4.
Beim Ausklammern holst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer. Bei f(x) = x⁴ - 2x² klammerst du x² aus: f(x) = x². So erhältst du x² = 0 und x² - 4 = 0, also x = 0, x = ±2.
Die Substitution hilft bei Gleichungen 4. Grades. Du ersetzt z.B. x² durch z und löst eine einfachere quadratische Gleichung. Danach rücksubstituieren nicht vergessen!
Potenzfunktionen f(x) = xʳ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Bei geraden Exponenten sind sie symmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden zum Ursprung. Negative Exponenten erzeugen Hyperbeln mit Asymptoten.
Tipp: Präge dir die charakteristischen Formen der verschiedenen Potenzfunktionen ein - das hilft beim schnellen Skizzieren!
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für sehr große oder kleine x-Werte bestimmt immer die höchste Potenz. Für Werte nahe null dominiert die niedrigste Potenz. Das ist dein Kompass beim Skizzieren!
Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse . Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung .
Die mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten an: m = /. Mit Funktionsgleichung: m = /h.
Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt - das ist die Ableitung! Sie zeigt dir, wie steil die Kurve genau an dieser Stelle verläuft.
Wichtig: Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn h gegen null geht.
Die Ableitungsregeln sind dein Handwerkszeug: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Konstante Faktoren bleiben erhalten, und Summen werden gliedweise abgeleitet. So wird aus f(x) = 3x³ + 2x² einfach f'(x) = 9x² + 4x.
Eine Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt, während eine Sekante ihn in zwei Punkten schneidet. Für die Tangentengleichung t(x) = mx + n brauchst du die Steigung und einen Punkt.
Charakteristische Punkte helfen beim Analysieren: Extrempunkte sind Hoch- oder Tiefpunkte, Extremstellen ihre x-Werte, Extremwerte ihre y-Werte. Unterscheide zwischen globalen und lokalen (nur in der Umgebung) Extrema.
Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Der Monotoniesatz macht's einfach: f'(x) > 0 bedeutet streng monoton steigend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend.
Praxistipp: Suche zuerst die Nullstellen der Ableitung - dort befinden sich die Extrempunkte der ursprünglichen Funktion!
Graphisches Ableiten bedeutet, aus einem gegebenen Graphen die Ableitungsfunktion zu skizzieren - ohne Rechnung, nur durch Beobachtung! Das ist eine super Fähigkeit für Klausuren.
Der Trick ist einfach: Wo der ursprüngliche Graph steigt (positive Steigung), verläuft die Ableitung oberhalb der x-Achse. Wo er fällt (negative Steigung), verläuft sie unterhalb.
Extrempunkte des ursprünglichen Graphen werden zu Nullstellen der Ableitung. Diese Punkte zeichnest du zuerst ein - sie sind deine Orientierungspunkte.
Der genaue Verlauf zwischen diesen Punkten muss nicht perfekt sein. Wichtig ist nur, dass du die Vorzeichen richtig erkennst und die groben Trends erfasst.
Übungstipp: Nimm dir verschiedene Graphen und versuche, die Ableitung zu skizzieren. Dann kontrolliere rechnerisch - so entwickelst du ein gutes Gefühl dafür!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Katie
@katie_1705
Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften sind ein wichtiges Thema in der Oberstufe, das dir in vielen Bereichen der Mathematik begegnet. Du lernst hier verschiedene Darstellungsformen kennen und wie du Schnittpunkte, Nullstellen und andere wichtige Eigenschaften berechnest.
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Quadratische Funktionen begegnen dir überall - von der Flugbahn eines Balls bis zur Form von Satellitenschüsseln. Die beiden wichtigsten Formen sind die Normalform f(x) = ax² + bx + c und die Scheitelpunktform f(x) = a² + e.
In der Normalform kannst du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen (das ist c). Bei der Scheitelpunktform siehst du sofort den Scheitelpunkt bei (d|e). Das macht die Analyse viel einfacher!
Um zwischen den Formen umzuwandeln, brauchst du die binomischen Formeln und die quadratische Ergänzung. Von Scheitelpunkt- zur Normalform einfach ausmultiplizieren, andersherum die quadratische Ergänzung anwenden.
Für Schnittpunkte mit Geraden setzt du f(x) = g(x) und löst mit der pq-Formel: x = -p/2 ± √. Die Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt.
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Beim Ausklammern holst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer. Bei f(x) = x⁴ - 2x² klammerst du x² aus: f(x) = x². So erhältst du x² = 0 und x² - 4 = 0, also x = 0, x = ±2.
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Die mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten an: m = /. Mit Funktionsgleichung: m = /h.
Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt - das ist die Ableitung! Sie zeigt dir, wie steil die Kurve genau an dieser Stelle verläuft.
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Die Ableitungsregeln sind dein Handwerkszeug: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Konstante Faktoren bleiben erhalten, und Summen werden gliedweise abgeleitet. So wird aus f(x) = 3x³ + 2x² einfach f'(x) = 9x² + 4x.
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Graphisches Ableiten bedeutet, aus einem gegebenen Graphen die Ableitungsfunktion zu skizzieren - ohne Rechnung, nur durch Beobachtung! Das ist eine super Fähigkeit für Klausuren.
Der Trick ist einfach: Wo der ursprüngliche Graph steigt (positive Steigung), verläuft die Ableitung oberhalb der x-Achse. Wo er fällt (negative Steigung), verläuft sie unterhalb.
Extrempunkte des ursprünglichen Graphen werden zu Nullstellen der Ableitung. Diese Punkte zeichnest du zuerst ein - sie sind deine Orientierungspunkte.
Der genaue Verlauf zwischen diesen Punkten muss nicht perfekt sein. Wichtig ist nur, dass du die Vorzeichen richtig erkennst und die groben Trends erfasst.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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