Umwandlung und Analyse quadratischer Funktionen

Die drei Formen quadratischer Funktionen und ihre Umwandlung

Jede quadratische Funktion lässt sich in drei verschiedenen Formen schreiben: Normalform (ax²+bx+c), Scheitelpunktform (a·$x-xs$²+ys) und faktorisierte Form $a·(x-m)(x-n)$. Je nachdem, was du herausfinden willst, ist eine Form praktischer als die andere.

Die Normalform zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt (das ist c). Die Scheitelpunktform verrät dir direkt den Scheitelpunkt SP(xs|ys). Die faktorisierte Form macht die Nullstellen sichtbar: (m|0) und (n|0).

Von Normalform zu Scheitelpunktform gehst du mit der quadratischen Ergänzung. Bei y = x²+12x+7 nimmst du die Hälfte von 12 (also 6), quadrierst sie $+36$ und ziehst sie wieder ab $-36$. So bekommst du: y = $x+6$²-29.

Tipp: Die quadratische Ergänzung ist wie ein Puzzle - du fügst etwas hinzu und nimmst es gleichzeitig wieder weg, damit sich am Wert nichts ändert!

Bei Funktionen mit a≠1 $wie h(x) = 3x²+12x+5$ klammerst du zuerst a aus dem x²- und x-Term aus: 3$x²+4x$+5. Dann machst du die quadratische Ergänzung in der Klammer und erhältst 3$x+2$²-7.