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Luzie Kulhavy
2.12.2025
Mathe
Vekorenrechnung
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2. Dez. 2025
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Luzie Kulhavy
@luziekulhavy_ijvp
In der analytischen Geometrie arbeitet ihr mit Punkten, Vektoren, Geraden... Mehr anzeigen
Punkte im Raum werden durch drei Koordinaten dargestellt, zum Beispiel A(1|2|3). Der Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt und wird als Spaltenvektor geschrieben.
Wenn ihr den Vektor zwischen zwei Punkten berechnen wollt, subtrahiert ihr einfach die Koordinaten: . Das bedeutet, ihr rechnet für jede Koordinate b - a.
Den Abstand zwischen zwei Punkten findet ihr mit der 3D-Distanzformel: . Das ist praktisch der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen.
Merktipp: Vektor = Endpunkt minus Startpunkt!
Eine Gerade wird durch eine Parametergleichung beschrieben: . Dabei ist der Stützvektor (zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Gerade) und der Richtungsvektor (gibt die Richtung an).
Um eine Gerade durch zwei Punkte aufzustellen, nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor und berechnet den Vektor zwischen beiden Punkten als Richtungsvektor. Der Parameter t kann alle reellen Zahlen annehmen.
Durch Einsetzen verschiedener t-Werte erhaltet ihr alle Punkte, die auf der Gerade liegen. Das ist super praktisch für Berechnungen!
Praxis-Tipp: Ihr könnt jeden beliebigen Punkt auf der Gerade als Stützvektor wählen - das Ergebnis bleibt dasselbe.
Zwei Geraden können vier verschiedene Beziehungen zueinander haben. Zuerst prüft ihr, ob die Richtungsvektoren parallel sind (einer ist ein Vielfaches des anderen).
Falls ja, sind die Geraden entweder parallel oder identisch. Um das zu unterscheiden, setzt ihr den Stützvektor der einen Gerade in die andere ein. Gibt es eine Lösung, sind sie identisch.
Falls die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setzt ihr die Geraden gleich. Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet die Geraden sind windschief (kreuzen sich ohne sich zu berühren).
Windschief gibt's nur im 3D-Raum - das ist der spannende Unterschied zur 2D-Geometrie!
Bei der praktischen Berechnung geht ihr systematisch vor. Zuerst prüft ihr die Richtungsvektoren: Ist für eine Zahl k? Dann sind die Geraden parallel.
Für parallele Geraden testet ihr, ob sie identisch sind, indem ihr einen Punkt der ersten Gerade in die zweite einsetzt. Das führt zu einem linearen Gleichungssystem.
Bei nicht-parallelen Geraden setzt ihr die Parametergleichungen gleich und löst das entstehende LGS. Gibt es eine eindeutige Lösung, habt ihr den Schnittpunkt gefunden.
LGS-Tipp: Keine Lösung = windschief, eine Lösung = Schnittpunkt, unendlich viele = identisch!
Eine Ebene wird durch die Parameterform dargestellt: . Hier ist der Stützvektor und sind die beiden Spannvektoren.
Für die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene setzt ihr beide gleich. Je nach Anzahl der Lösungen des LGS erkennt ihr die Beziehung: Eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele = Gerade liegt in der Ebene.
Die beiden Spannvektoren dürfen niemals Vielfache voneinander sein, sonst beschreiben sie keine vollständige Ebene, sondern nur eine Gerade.
Wichtig: Drei Punkte bestimmen eindeutig eine Ebene - vorausgesetzt, sie liegen nicht auf einer Geraden!
Beim Lösen von Gerade-Ebene-Problemen setzt ihr die Parametergleichungen gleich und erhaltet ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (r, s, t).
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt ihr die gefundenen Parameter in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Kontrolliert euer Ergebnis, indem ihr den Punkt in beide Gleichungen einsetzt.
Parallel bedeutet, dass die Gerade niemals die Ebene trifft - das LGS hat keine Lösung. Gerade liegt in der Ebene bedeutet unendlich viele Berührpunkte.
Kontrolltipp: Setzt euren berechneten Schnittpunkt zur Probe in beide ursprünglichen Gleichungen ein!
Um eine Ebenengleichung zu erstellen, braucht ihr drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Einen davon wählt ihr als Stützvektor, die anderen zwei ergeben die Spannvektoren.
Die Spannvektoren berechnet ihr als Vektoren vom Stützpunkt zu den beiden anderen Punkten. Wichtig: Sie dürfen nicht parallel sein (kein Vielfaches voneinander).
In Anwendungsaufgaben gebt ihr oft reale Situationen an - wie ein Tuch, das an drei Punkten befestigt ist. Die Mathematik bleibt dieselbe: Drei Punkte → eine Ebene.
Praxis-Check: Sind eure Spannvektoren parallel? Dann habt ihr nur drei Punkte auf einer Geraden erwischt!
Orthogonale Vektoren erkennt ihr am Skalarprodukt: . Das ist wichtig für rechte Winkel im Raum.
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge: . Das ist die 3D-Version des Satzes von Pythagoras.
Für Lagebeziehungen geht ihr immer systematisch vor: Erst parallel prüfen, dann identisch oder schneidend, zum Schluss orthogonal falls nötig.
Erfolgs-Strategie: Arbeitet immer schrittweise - erst die Richtungsvektoren analysieren, dann die konkreten Punkte einsetzen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Luzie Kulhavy
@luziekulhavy_ijvp
In der analytischen Geometrie arbeitet ihr mit Punkten, Vektoren, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum. Diese Konzepte helfen euch dabei, räumliche Beziehungen mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.
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Wenn ihr den Vektor zwischen zwei Punkten berechnen wollt, subtrahiert ihr einfach die Koordinaten: . Das bedeutet, ihr rechnet für jede Koordinate b - a.
Den Abstand zwischen zwei Punkten findet ihr mit der 3D-Distanzformel: . Das ist praktisch der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen.
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Eine Gerade wird durch eine Parametergleichung beschrieben: . Dabei ist der Stützvektor (zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Gerade) und der Richtungsvektor (gibt die Richtung an).
Um eine Gerade durch zwei Punkte aufzustellen, nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor und berechnet den Vektor zwischen beiden Punkten als Richtungsvektor. Der Parameter t kann alle reellen Zahlen annehmen.
Durch Einsetzen verschiedener t-Werte erhaltet ihr alle Punkte, die auf der Gerade liegen. Das ist super praktisch für Berechnungen!
Praxis-Tipp: Ihr könnt jeden beliebigen Punkt auf der Gerade als Stützvektor wählen - das Ergebnis bleibt dasselbe.
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Zwei Geraden können vier verschiedene Beziehungen zueinander haben. Zuerst prüft ihr, ob die Richtungsvektoren parallel sind (einer ist ein Vielfaches des anderen).
Falls ja, sind die Geraden entweder parallel oder identisch. Um das zu unterscheiden, setzt ihr den Stützvektor der einen Gerade in die andere ein. Gibt es eine Lösung, sind sie identisch.
Falls die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setzt ihr die Geraden gleich. Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet die Geraden sind windschief (kreuzen sich ohne sich zu berühren).
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Bei der praktischen Berechnung geht ihr systematisch vor. Zuerst prüft ihr die Richtungsvektoren: Ist für eine Zahl k? Dann sind die Geraden parallel.
Für parallele Geraden testet ihr, ob sie identisch sind, indem ihr einen Punkt der ersten Gerade in die zweite einsetzt. Das führt zu einem linearen Gleichungssystem.
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Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt ihr die gefundenen Parameter in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Kontrolliert euer Ergebnis, indem ihr den Punkt in beide Gleichungen einsetzt.
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Orthogonale Vektoren erkennt ihr am Skalarprodukt: . Das ist wichtig für rechte Winkel im Raum.
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge: . Das ist die 3D-Version des Satzes von Pythagoras.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektorgeometrie im 3D-Koordinatensystem. Diese Zusammenfassung behandelt Verbindungsvektoren, Ortsvektoren, Einheitsvektoren, Vektorrechenregeln und das Spiegeln von Punkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Vektorgeometrie vertiefen möchten.
MatheVertiefte Konzepte zu Geradengleichungen, Ebenengleichungen, Kollinearität und Orthogonalität von Vektoren. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Geometrie. Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Berechnung von Abständen und zur Prüfung der Lage von Geraden.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich der Berechnung von Abständen, Beträgen und Mittelpunkten. Lernen Sie, wie man Spurpunkte bestimmt, Geraden einzeichnet und Punktproben durchführt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Vektoren, die Orthogonalität von Vektoren sowie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Ideal für Schüler im Mathematik Grundkurs, die sich auf Leistungskontrollen vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, lineare Kombinationen und die Umwandlung von Geradengleichungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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