Mathematik

Vektorraumoperationen

Komponentenform eines Vektors

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6. Feb. 2026

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12 Seiten

Grundlagen der Vektorenrechnung – Übersicht

Mona K

@monakr

Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie... Mehr anzeigen

1 / 10

Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von deinem Haus zum Kino kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum als Pfeile, die von einem Punkt A zu einem Punkt B zeigen.

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: $\vec{v}$ . Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{pmatrix}$ .

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten ab: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} y_1 - x_1\y_2 - x_2\y_3 - x_3 \end{pmatrix}$ . Das zeigt dir die exakte Richtung und Entfernung zwischen den Punkten.

Merktipp: Endpunkt minus Anfangspunkt = Vektor!

Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor $\vec{AB}$ berechnest du so: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\3-2\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\1\2 \end{pmatrix}$ .

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\9\3 \end{pmatrix}$ . Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

Gegenvektoren

Ein Gegenvektor zeigt in die exakt entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Du erhältst ihn, indem du den ursprünglichen Vektor mit -1 multiplizierst: $-\vec{v} = (-1) \cdot \vec{v}$ .

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park $Vektor $\vec{a}$$ . Der Rückweg ist dann der Gegenvektor $-\vec{a}$ - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

Rechnerisch änderst du einfach alle Vorzeichen: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\-2\1 \end{pmatrix}$ wird zu $-\vec{v} = \begin{pmatrix} -3\2\-1 \end{pmatrix}$ .

Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren rechnest du komponentenweise - das heißt, du rechnest jede Koordinate für sich. Bei der Addition addierst du die entsprechenden Koordinaten: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\a_2 + b_2\a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ .

Beispiel Addition: $\begin{pmatrix} 4\-1\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\2\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\1\-2 \end{pmatrix}$

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: $\begin{pmatrix} 2\1\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\2\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\-1\-4 \end{pmatrix}$ .

Einfach: Immer Koordinate für Koordinate rechnen!

Multiplikation mit einem Skalar

Einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren ist kinderleicht: Du multiplizierst jede Koordinate mit dieser Zahl. $3 \cdot \begin{pmatrix} 1\2\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\6\15 \end{pmatrix}$.

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: $x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\x \cdot v_2\x \cdot v_3 \end{pmatrix}$ .

Vorstellung: Wie einen Pfeil länger oder kürzer machen!

Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\2\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\6\9 \end{pmatrix}$ . Hier ist $k = 3$ , denn $3 \cdot 1 = 3 $,$ 3 \cdot 2 = 6 $und$ 3 \cdot 3 = 9$.

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

Check: Alle Verhältnisse müssen gleich sein!

Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

Die Länge gibt dir an, wie "weit" der Vektor ist - also die Entfernung zwischen Start- und Endpunkt der Verschiebung.

Pythagoras: Funktioniert auch im 3D-Raum!

Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\1 \end{pmatrix}$ hat die Länge $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ Längeneinheiten.

3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\0\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Abstand zwischen Punkten: Um den Abstand zwischen A(2|0|5) und B(7|4|-1) zu finden, berechnest du erst $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5\4\-6 \end{pmatrix}$ und dann $|\vec{AB}| = \sqrt{77}$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: $M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right)$ .

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

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Beliebtester Inhalt: Komponentenform eines Vektors

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie zeigen dir, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Mit ihnen kannst du Bewegungen, Richtungen und Abstände mathematisch beschreiben und berechnen.

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Was sind Vektoren?

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: $\vec{v}$ . Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{pmatrix}$ .

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Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor $\vec{AB}$ berechnest du so: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\3-2\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\1\2 \end{pmatrix}$ .

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

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Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\9\3 \end{pmatrix}$ . Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

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Gegenvektoren

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park $Vektor $\vec{a}$$ . Der Rückweg ist dann der Gegenvektor $-\vec{a}$ - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

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Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Beispiel Addition: $\begin{pmatrix} 4\-1\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\2\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\1\-2 \end{pmatrix}$

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: $\begin{pmatrix} 2\1\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\2\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\-1\-4 \end{pmatrix}$ .

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Multiplikation mit einem Skalar

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: $x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\x \cdot v_2\x \cdot v_3 \end{pmatrix}$ .

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Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\2\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\6\9 \end{pmatrix}$ . Hier ist $k = 3$ , denn $3 \cdot 1 = 3 $,$ 3 \cdot 2 = 6 $und$ 3 \cdot 3 = 9$.

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

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Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

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Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\1 \end{pmatrix}$ hat die Länge $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ Längeneinheiten.

3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\0\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

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Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: $M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right)$ .

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

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Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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