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Mathematik

Vektorraumoperationen

Komponentenform eines Vektors

Mathe3.637Aktualisiert 27. Okt. 202612 Seiten

Grundlagen der Vektorenrechnung – Übersicht

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Mona K@monakr
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Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie zeigen dir, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Mit ihnen kannst du Bewegungen, Richtungen und Abstände mathematisch beschreiben und berechnen.
Vektoren Übersicht – Seite 1

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Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von deinem Haus zum Kino kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum als Pfeile, die von einem Punkt A zu einem Punkt B zeigen.

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: v⃗\vec{v}. Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: v⃗=(x1x2x3)\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}.

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten ab: AB⃗=(y1−x1y2−x2y3−x3)\vec{AB} = \begin{pmatrix} y_1 - x_1\\y_2 - x_2\\y_3 - x_3 \end{pmatrix}. Das zeigt dir die exakte Richtung und Entfernung zwischen den Punkten.

Merktipp: Endpunkt minus Anfangspunkt = Vektor!

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Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor AB⃗\vec{AB} berechnest du so: AB⃗=(3−13−25−3)=(212)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\\3-2\\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}.

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

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Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach OP⃗=(693)\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\\9\\3 \end{pmatrix}. Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

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Gegenvektoren

Ein Gegenvektor zeigt in die exakt entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Du erhältst ihn, indem du den ursprünglichen Vektor mit -1 multiplizierst: −v⃗=(−1)⋅v⃗-\vec{v} = (-1) \cdot \vec{v}.

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park (Vektor a⃗\vec{a}). Der Rückweg ist dann der Gegenvektor −a⃗-\vec{a} - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

Rechnerisch änderst du einfach alle Vorzeichen: v⃗=(3−21)\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\-2\\1 \end{pmatrix} wird zu −v⃗=(−32−1)-\vec{v} = \begin{pmatrix} -3\\2\\-1 \end{pmatrix}.

Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren rechnest du komponentenweise - das heißt, du rechnest jede Koordinate für sich. Bei der Addition addierst du die entsprechenden Koordinaten: a⃗+b⃗=(a1+b1a2+b2a3+b3)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\a_2 + b_2\\a_3 + b_3 \end{pmatrix}.

Beispiel Addition: (4−12)+(32−4)=(71−2)\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\2\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\1\\-2 \end{pmatrix}

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: (21−3)−(321)=(−1−1−4)\begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}.

Einfach: Immer Koordinate für Koordinate rechnen!

Vektoren Übersicht – Seite 6

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Multiplikation mit einem Skalar

Einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren ist kinderleicht: Du multiplizierst jede Koordinate mit dieser Zahl. 3⋅(125)=(3615)3 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\6\\15 \end{pmatrix}.

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: x⋅v⃗=(x⋅v1x⋅v2x⋅v3)x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\\x \cdot v_2\\x \cdot v_3 \end{pmatrix}.

Vorstellung: Wie einen Pfeil länger oder kürzer machen!

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Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: v⃗=k⋅w⃗\vec{v} = k \cdot \vec{w}.

Beispiel: v⃗=(123)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} und w⃗=(369)\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\6\\9 \end{pmatrix}. Hier ist k=3k = 3, denn 3⋅1=33 \cdot 1 = 3, 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 und 3⋅3=93 \cdot 3 = 9.

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von w⃗\vec{w} durch die entsprechende von v⃗\vec{v}. Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

Check: Alle Verhältnisse müssen gleich sein!

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Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: ∣v⃗∣=v12+v22|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}.

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}.

Die Länge gibt dir an, wie "weit" der Vektor ist - also die Entfernung zwischen Start- und Endpunkt der Verschiebung.

Pythagoras: Funktioniert auch im 3D-Raum!

Vektoren Übersicht – Seite 9

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Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: v⃗=(41)\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix} hat die Länge ∣v⃗∣=42+12=17≈4,12|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12 Längeneinheiten.

3D-Beispiel: v⃗=(304)\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix} ergibt ∣v⃗∣=32+02+42=25=5|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 Längeneinheiten.

Abstand zwischen Punkten: Um den Abstand zwischen A(2|0|5) und B7∣4∣−17|4|-1 zu finden, berechnest du erst AB⃗=(54−6)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5\\4\\-6 \end{pmatrix} und dann ∣AB⃗∣=77|\vec{AB}| = \sqrt{77} Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

Vektoren Übersicht – Seite 10

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Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: M=(a1+b12|a2+b22|a3+b32)M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right).

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei M=(3+42|1+62|1+22)=M(3,5∣3,5∣1,5)M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5).

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: OM⃗=OC⃗+12⋅CD⃗\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}. Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

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