Mathematik

Vektorraumoperationen

Komponentenform eines Vektors

Mathe3.607 aufrufe·Aktualisiert 31. Aug. 2026·12 Seiten

Grundlagen der Vektorenrechnung – Übersicht

Mona K@monakr

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Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie...

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Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von deinem Haus zum Kino kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum als Pfeile, die von einem Punkt A zu einem Punkt B zeigen.

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: $\vec{v}$ . Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}$ .

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten ab: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} y_1 - x_1\\y_2 - x_2\\y_3 - x_3 \end{pmatrix}$ . Das zeigt dir die exakte Richtung und Entfernung zwischen den Punkten.

Merktipp: Endpunkt minus Anfangspunkt = Vektor!

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Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor $\vec{AB}$ berechnest du so: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\\3-2\\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$ .

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

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Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\\9\\3 \end{pmatrix}$ . Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

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Gegenvektoren

Ein Gegenvektor zeigt in die exakt entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Du erhältst ihn, indem du den ursprünglichen Vektor mit -1 multiplizierst: $-\vec{v} = (-1) \cdot \vec{v}$ .

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park (Vektor $\vec{a}$ ). Der Rückweg ist dann der Gegenvektor $-\vec{a}$ - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

Rechnerisch änderst du einfach alle Vorzeichen: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\-2\\1 \end{pmatrix}$ wird zu $-\vec{v} = \begin{pmatrix} -3\\2\\-1 \end{pmatrix}$ .

Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren rechnest du komponentenweise - das heißt, du rechnest jede Koordinate für sich. Bei der Addition addierst du die entsprechenden Koordinaten: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\a_2 + b_2\\a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ .

Beispiel Addition: $\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\2\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\1\\-2 \end{pmatrix}$

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: $\begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}$ .

Einfach: Immer Koordinate für Koordinate rechnen!

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Multiplikation mit einem Skalar

Einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren ist kinderleicht: Du multiplizierst jede Koordinate mit dieser Zahl. $3 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\6\\15 \end{pmatrix}$ .

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: $x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\\x \cdot v_2\\x \cdot v_3 \end{pmatrix}$ .

Vorstellung: Wie einen Pfeil länger oder kürzer machen!

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Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\6\\9 \end{pmatrix}$ . Hier ist $k = 3$ , denn $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ und $3 \cdot 3 = 9$ .

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

Check: Alle Verhältnisse müssen gleich sein!

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Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

Die Länge gibt dir an, wie "weit" der Vektor ist - also die Entfernung zwischen Start- und Endpunkt der Verschiebung.

Pythagoras: Funktioniert auch im 3D-Raum!

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Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}$ hat die Länge $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ Längeneinheiten.

3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Abstand zwischen Punkten: Um den Abstand zwischen A(2|0|5) und B $7|4|-1$ zu finden, berechnest du erst $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5\\4\\-6 \end{pmatrix}$ und dann $|\vec{AB}| = \sqrt{77}$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

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Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: $M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right)$ .

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

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