Mathematik

Vektorraumoperationen

Komponentenform eines Vektors

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25. Dez. 2025

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Grundlagen der Vektorenrechnung – Übersicht

Mona K

@monakr

Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie... Mehr anzeigen

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Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von deinem Haus zum Kino kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum als Pfeile, die von einem Punkt A zu einem Punkt B zeigen.

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: $\vec{v}$ . Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{pmatrix}$ .

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten ab: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} y_1 - x_1\y_2 - x_2\y_3 - x_3 \end{pmatrix}$ . Das zeigt dir die exakte Richtung und Entfernung zwischen den Punkten.

Merktipp: Endpunkt minus Anfangspunkt = Vektor!

Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor $\vec{AB}$ berechnest du so: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\3-2\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\1\2 \end{pmatrix}$ .

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\9\3 \end{pmatrix}$ . Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

Gegenvektoren

Ein Gegenvektor zeigt in die exakt entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Du erhältst ihn, indem du den ursprünglichen Vektor mit -1 multiplizierst: $-\vec{v} = (-1) \cdot \vec{v}$ .

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park $Vektor $\vec{a}$$ . Der Rückweg ist dann der Gegenvektor $-\vec{a}$ - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

Rechnerisch änderst du einfach alle Vorzeichen: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\-2\1 \end{pmatrix}$ wird zu $-\vec{v} = \begin{pmatrix} -3\2\-1 \end{pmatrix}$ .

Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren rechnest du komponentenweise - das heißt, du rechnest jede Koordinate für sich. Bei der Addition addierst du die entsprechenden Koordinaten: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\a_2 + b_2\a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ .

Beispiel Addition: $\begin{pmatrix} 4\-1\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\2\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\1\-2 \end{pmatrix}$

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: $\begin{pmatrix} 2\1\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\2\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\-1\-4 \end{pmatrix}$ .

Einfach: Immer Koordinate für Koordinate rechnen!

Multiplikation mit einem Skalar

Einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren ist kinderleicht: Du multiplizierst jede Koordinate mit dieser Zahl. $3 \cdot \begin{pmatrix} 1\2\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\6\15 \end{pmatrix}$ .

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: $x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\x \cdot v_2\x \cdot v_3 \end{pmatrix}$ .

Vorstellung: Wie einen Pfeil länger oder kürzer machen!

Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\2\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\6\9 \end{pmatrix}$ . Hier ist $k = 3$ , denn $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ und $3 \cdot 3 = 9$ .

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

Check: Alle Verhältnisse müssen gleich sein!

Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

Die Länge gibt dir an, wie "weit" der Vektor ist - also die Entfernung zwischen Start- und Endpunkt der Verschiebung.

Pythagoras: Funktioniert auch im 3D-Raum!

Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\1 \end{pmatrix}$ hat die Länge $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ Längeneinheiten.

3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\0\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Abstand zwischen Punkten: Um den Abstand zwischen A(2|0|5) und B(7|4|-1) zu finden, berechnest du erst $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5\4\-6 \end{pmatrix}$ und dann $|\vec{AB}| = \sqrt{77}$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: $M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right)$ .

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

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Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

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Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

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3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\0\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

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Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

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