Mathematik

Vektorraumoperationen

Komponentenform eines Vektors

Mathe3.595 aufrufe·Aktualisiert 10. Aug. 2026·12 Seiten

Grundlagen der Vektorenrechnung – Übersicht

Mona K@monakr

Zu Google-Quellen hinzufügen

Vektoren sind wie eine Art "Wegbeschreibung" im Raum - sie...

1 / 10

of 10

Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von deinem Haus zum Kino kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum als Pfeile, die von einem Punkt A zu einem Punkt B zeigen.

Vektoren schreibst du als kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber: $\vec{v}$ . Die Koordinaten stehen untereinander in Klammern: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}$ .

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten ab: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} y_1 - x_1\\y_2 - x_2\\y_3 - x_3 \end{pmatrix}$ . Das zeigt dir die exakte Richtung und Entfernung zwischen den Punkten.

Merktipp: Endpunkt minus Anfangspunkt = Vektor!

of 10

Vektoren berechnen - Beispiel

Nehmen wir die Punkte A(1|2|3) und B(3|3|5). Den Vektor $\vec{AB}$ berechnest du so: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\\3-2\\5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$ .

Das bedeutet konkret: Du gehst 2 Schritte in x-Richtung, 1 Schritt in y-Richtung und 2 Schritte in z-Richtung.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du dir das wie eine Bewegung durch den Raum vorstellen - vor/zurück, links/rechts und hoch/runter.

Tipp: Jede Koordinate zeigt dir die Schritte in eine bestimmte Richtung!

of 10

Ortsvektoren

Ortsvektoren sind besondere Vektoren, die immer vom Koordinatenursprung O(0|0|0) zu einem bestimmten Punkt zeigen. Sie sind wie die "Adresse" eines Punktes im Raum.

Ist P(6|9|3) ein Punkt, dann ist sein Ortsvektor einfach $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 6\\9\\3 \end{pmatrix}$ . Du schreibst also die Koordinaten des Punktes direkt als Vektor.

Ortsvektoren sind super praktisch, weil sie dir sofort zeigen, wo sich ein Punkt im Koordinatensystem befindet.

Merksatz: Ortsvektor = Koordinaten des Punktes!

of 10

Gegenvektoren

Ein Gegenvektor zeigt in die exakt entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Du erhältst ihn, indem du den ursprünglichen Vektor mit -1 multiplizierst: $-\vec{v} = (-1) \cdot \vec{v}$ .

Praktisches Beispiel: Ein Jogger läuft von zu Hause zum Park (Vektor $\vec{a}$ ). Der Rückweg ist dann der Gegenvektor $-\vec{a}$ - gleiche Strecke, aber umgekehrte Richtung.

Rechnerisch änderst du einfach alle Vorzeichen: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\-2\\1 \end{pmatrix}$ wird zu $-\vec{v} = \begin{pmatrix} -3\\2\\-1 \end{pmatrix}$ .

Alltag: Wie Hin- und Rückweg - gleiche Strecke, entgegengesetzte Richtung!

of 10

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren rechnest du komponentenweise - das heißt, du rechnest jede Koordinate für sich. Bei der Addition addierst du die entsprechenden Koordinaten: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\a_2 + b_2\\a_3 + b_3 \end{pmatrix}$ .

Beispiel Addition: $\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\2\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\1\\-2 \end{pmatrix}$

Bei der Subtraktion ziehst du entsprechend ab: $\begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}$ .

Einfach: Immer Koordinate für Koordinate rechnen!

of 10

Multiplikation mit einem Skalar

Einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) zu multiplizieren ist kinderleicht: Du multiplizierst jede Koordinate mit dieser Zahl. $3 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\6\\15 \end{pmatrix}$ .

Das verändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung. Bei einer negativen Zahl drehst du zusätzlich die Richtung um.

Die allgemeine Formel lautet: $x \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \cdot v_1\\x \cdot v_2\\x \cdot v_3 \end{pmatrix}$ .

Vorstellung: Wie einen Pfeil länger oder kürzer machen!

of 10

Parallelität von Vektoren (kollinear)

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn einer das Vielfache des anderen ist: $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ .

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\6\\9 \end{pmatrix}$ . Hier ist $k = 3$ , denn $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ und $3 \cdot 3 = 9$ .

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, teilst du jede Koordinate von $\vec{w}$ durch die entsprechende von $\vec{v}$ . Kommt immer dieselbe Zahl raus? Dann sind sie parallel!

Check: Alle Verhältnisse müssen gleich sein!

of 10

Die Länge eines Vektors

Die Länge (oder den Betrag) eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Im 2D-Fall: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Im dreidimensionalen Raum erweiterst du die Formel einfach: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

Die Länge gibt dir an, wie "weit" der Vektor ist - also die Entfernung zwischen Start- und Endpunkt der Verschiebung.

Pythagoras: Funktioniert auch im 3D-Raum!

of 10

Beispiele zur Längenberechnung

2D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}$ hat die Länge $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4,12$ Längeneinheiten.

3D-Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix}$ ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

Abstand zwischen Punkten: Um den Abstand zwischen A(2|0|5) und B $7|4|-1$ zu finden, berechnest du erst $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5\\4\\-6 \end{pmatrix}$ und dann $|\vec{AB}| = \sqrt{77}$ Längeneinheiten.

Praktisch: Vektorlänge = Entfernung zwischen Punkten!

of 10

Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit einer einfachen Formel: $M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2} \middle| \frac{a_2 + b_2}{2} \middle| \frac{a_3 + b_3}{2}\right)$ .

Beispiel: Zwischen C(3|1|1) und D(4|6|2) liegt der Mittelpunkt bei $M = \left(\frac{3+4}{2} \middle| \frac{1+6}{2} \middle| \frac{1+2}{2}\right) = M(3,5|3,5|1,5)$ .

Alternativ kannst du auch über Vektoren rechnen: $\vec{OM} = \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{CD}$ . Das Ergebnis ist dasselbe, dauert nur länger.

Trick: Einfach alle Koordinaten addieren und durch 2 teilen!

Wir dachten schon, du fragst nie...

Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.

Was sind Vektoren?

Vektoren berechnen - Beispiel

Ortsvektoren

Gegenvektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Multiplikation mit einem Skalar

Parallelität von Vektoren (kollinear)

Die Länge eines Vektors

Beispiele zur Längenberechnung

Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnlicher Inhalt

Vektoren im Koordinatensystem

Eigenschaften von Vierecken

Umwandlung gemischter Zahlen

Bruchrechnung Grundlagen

Brüche: Erweitern & Kürzen

Strahlensätze verstehen

Beliebtester Inhalt: Komponentenform eines Vektors

Vektoren im Koordinatensystem

Beliebtester Inhalt in Mathe

Lernzettel ZP 10 Mathe

Mathe ZP10 Zusammenfassung NRW

Alles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule

ZP10 Mathe

ZK EF NRW Lernzettel alle Themen

Mathe ZK 2025

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Analysis: Funktionsscharen & Ableitungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen

Beliebtester Inhalt

Führerschein Theorie Wiederholung/Notizen

Heimsuchung komplette Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Fahrschule Theorieprüfung Essentials

Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

10 unregelmäßige Verben im past participle

Lernzettel Führerschein Theorie

„Heimsuchung“ - Jenny Erpenbeck Lernlandkarte/ Lern Übersicht

Lernzettel ZP 10 Mathe

Schüler lieben uns — und du auch.

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Was sind Vektoren?

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Vektoren berechnen - Beispiel

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Ortsvektoren

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Gegenvektoren

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Addition und Subtraktion von Vektoren

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Multiplikation mit einem Skalar

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Parallelität von Vektoren (kollinear)

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Die Länge eines Vektors

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Beispiele zur Längenberechnung

Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!

Mittelpunkt zwischen zwei Punkten

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnlicher Inhalt

Vektoren im Koordinatensystem

Eigenschaften von Vierecken

Umwandlung gemischter Zahlen

Bruchrechnung Grundlagen

Brüche: Erweitern & Kürzen

Strahlensätze verstehen

Beliebtester Inhalt: Komponentenform eines Vektors

Vektoren im Koordinatensystem

Beliebtester Inhalt in Mathe

Lernzettel ZP 10 Mathe

Mathe ZP10 Zusammenfassung NRW