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Vektorraumoperationen

parallele Vektoren

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27. Dez. 2025

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Vektoren Formelsammlung und Begriffsübersicht

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elli

@elli_ubjc

Vektoren sind überall um uns herum - von der Navigation... Mehr anzeigen

Vektor bestimmen: AB AB = (3) - () Bsp. => A= √₂) P Addition & Subtraktion á : b = c ():) Q à X₂ -0-0-0 VEKTOREN Kollinear? 1. (RV₂): 1 = (R

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren bestimmen ist eigentlich ziemlich simpel: Du ziehst einfach die Koordinaten vom Startpunkt von den Koordinaten des Endpunkts ab. Die Formel AB→=(b1−a1\b2−a2)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1\b_2 - a_2 \end{pmatrix} zeigt dir genau, wie das geht.

Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren rechnest du einfach die entsprechenden Koordinaten zusammen oder voneinander ab. Das ist wie beim normalen Rechnen, nur dass du es für jede Koordinate einzeln machst.

Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: ∣a→∣=a12+a22+a32|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Das Skalarprodukt multipliziert entsprechende Koordinaten und addiert sie - super wichtig für Winkelberechnungen!

Merktipp: Bei Vektorberechnungen immer systematisch vorgehen - Koordinate für Koordinate abarbeiten!

Geradengleichungen haben die Form g:x→=a→+r⋅u→g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{u}, wobei a→\overrightarrow{a} der Stützvektor und u→\overrightarrow{u} der Richtungsvektor ist. Für Winkelberechnungen zwischen Vektoren nutzt du die Formel cos⁡α=a→⋅b→∣a→∣∣b→∣\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}.

Vektor bestimmen: AB AB = (3) - () Bsp. => A= √₂) P Addition & Subtraktion á : b = c ():) Q à X₂ -0-0-0 VEKTOREN Kollinear? 1. (RV₂): 1 = (R

Spezielle Vektortypen und Anwendungen

Ortsvektoren starten immer im Koordinatenursprung und zeigen zu einem bestimmten Punkt. Richtungsvektoren dagegen zeigen nur die Richtung an, ohne festen Startpunkt - sie geben einer Geraden ihre "Marschrichtung".

Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander - sie zeigen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung. Du erkennst sie daran, dass ein Vektor durch Multiplikation mit einer Zahl aus dem anderen entsteht.

Das Skalarprodukt ist eine besondere Multiplikation von Vektoren, die als Ergebnis eine einfache Zahl (Skalar) liefert. Es ist der Schlüssel für viele geometrische Berechnungen.

Praxistipp: Spurpunkte findest du, indem du eine Koordinate auf Null setzt und nach dem Parameter auflöst!

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den drei Koordinatenebenen xy−,yz−,xz−Ebenexy-, yz-, xz-Ebene. Bei Lagebeziehungen von Geraden unterscheidest du zwischen parallel, identisch, schneidend oder windschief - je nachdem, ob die Richtungsvektoren kollinear sind und ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist.



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Vektoren sind überall um uns herum - von der Navigation auf deinem Handy bis zur Physik in Videospielen. In der Mathematik helfen sie dir, Punkte im Raum zu beschreiben und komplexe geometrische Probleme zu lösen.

Vektor bestimmen: AB AB = (3) - () Bsp. => A= √₂) P Addition & Subtraktion á : b = c ():) Q à X₂ -0-0-0 VEKTOREN Kollinear? 1. (RV₂): 1 = (R

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Grundlagen der Vektorrechnung

Vektoren bestimmen ist eigentlich ziemlich simpel: Du ziehst einfach die Koordinaten vom Startpunkt von den Koordinaten des Endpunkts ab. Die Formel AB→=(b1−a1\b2−a2)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1\b_2 - a_2 \end{pmatrix} zeigt dir genau, wie das geht.

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Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander - sie zeigen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung. Du erkennst sie daran, dass ein Vektor durch Multiplikation mit einer Zahl aus dem anderen entsteht.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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