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Komplette Übersicht der Vektorenrechnung

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Lena

21.12.2025

Mathe

VektorenRechnung Übersicht

495

21. Dez. 2025

5 Seiten

Komplette Übersicht der Vektorenrechnung

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Lena

@nennmichlena

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in der Oberstufe und... Mehr anzeigen

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VEKTOREN
H E
*Verschiebungen werden durch Vektoren beschrieben
• Zur Beschreibung einer verschiebung auf einer Ebene werden zwei Angaben

Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von A nach B kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum und brauchen dafür zwei Informationen: Richtung und Länge.

Du kannst Vektoren als Pfeile zeichnen oder mathematisch mit Koordinaten schreiben, zum Beispiel (3\2)\begin{pmatrix} 3\2\end{pmatrix} - das bedeutet 3 Schritte nach rechts und 2 nach oben. Wenn du mehrere Verschiebungen hintereinander machst, addierst du einfach die Vektoren: a+b=c\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}.

Das Coole an Vektoren: Ein Vektor hat unendlich viele Repräsentanten - egal wo du den Pfeil hinzeichnest, solange Länge und Richtung stimmen, ist es derselbe Vektor. Gegenvektoren zeigen in die entgegengesetzte Richtung.

Merktipp: Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie weit und in welche Richtung du gehen musst!

Geraden im Raum

Mit Vektoren kannst du jede Gerade super elegant beschreiben. Die Formel dafür ist: g:x=p+rvg: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v}. Das sieht komplizierter aus als es ist!

Der Stützvektor p\vec{p} gibt dir einen festen Punkt auf der Geraden, und der Richtungsvektor v\vec{v} zeigt dir, in welche Richtung die Gerade verläuft. Mit dem Parameter rr kannst du jeden beliebigen Punkt auf der Geraden erreichen.

Denk daran so: Du startest an einem bekannten Punkt und gehst dann in eine bestimmte Richtung - je nachdem, ob rr positiv, negativ oder null ist, kommst du an verschiedene Stellen auf der Geraden.

Praxistipp: Wenn du eine Gerade aufstellen musst, brauchst du nur zwei Punkte - einer wird dein Stützvektor, der andere hilft dir beim Richtungsvektor!

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VEKTOREN
H E
*Verschiebungen werden durch Vektoren beschrieben
• Zur Beschreibung einer verschiebung auf einer Ebene werden zwei Angaben

Lagebeziehungen von Geraden

Wenn sich zwei Geraden im Raum begegnen, können drei Dinge passieren: Sie sind identisch, parallel oder windschief zueinander. Das systematisch herauszufinden ist gar nicht so schwer!

Zuerst checkst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind - das bedeutet, ob sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. Falls ja, machst du eine Punktprobe: Liegt der Stützvektor der einen Geraden auf der anderen? Wenn ja, sind die Geraden identisch, wenn nein, sind sie parallel.

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, machst du eine Schnittpunktuntersuchung. Entweder findest du einen Schnittpunkt oder die Geraden sind windschief - das bedeutet, sie laufen aneinander vorbei ohne sich zu treffen.

Kollinearität checkst du so: (u1 u2 u3)=a(v1 v2 v3)\begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}. Wenn alle drei Zeilen das gleiche aa ergeben, sind die Vektoren kollinear.

GTR-Tipp: Für komplizierte Berechnungen kannst du den GTR nutzen: Matrix eingeben und mit rref( ) diagonalisieren!

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VEKTOREN
H E
*Verschiebungen werden durch Vektoren beschrieben
• Zur Beschreibung einer verschiebung auf einer Ebene werden zwei Angaben

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte von Geraden zu finden ist wie ein mathematisches Puzzle - du musst nur systematisch vorgehen! Das Geheimnis liegt darin, die beiden Geradengleichungen gleichzusetzen.

Zuerst stellst du die Gleichung auf: p1+rv1=p2+tv2\vec{p_1} + r \cdot \vec{v_1} = \vec{p_2} + t \cdot \vec{v_2}. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Zeilen fu¨rx,yundzKoordinatefür x, y und z-Koordinate und zwei Unbekannten ($r$ und $t$).

Jetzt wandelst du das System in eine Matrix um und diagonalisierst es. Wenn du eindeutige Werte für rr und tt bekommst, haben die Geraden einen Schnittpunkt. Setzt du einen der Parameter in die ursprüngliche Geradengleichung ein, erhältst du die Koordinaten des Schnittpunkts.

Das Skalarprodukt brauchst du für andere Berechnungen: uv=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3. Es ist immer eine reelle Zahl, kein Vektor!

Erfolgsrezept: Strukturiert arbeiten ist alles - Gleichsetzen, Matrix aufstellen, diagonalisieren, Parameter einsetzen!

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VEKTOREN
H E
*Verschiebungen werden durch Vektoren beschrieben
• Zur Beschreibung einer verschiebung auf einer Ebene werden zwei Angaben

Orthogonalität und Winkel

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander - das erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt null ergibt: uv=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Das ist super praktisch für viele Aufgaben!

Für Winkel zwischen Vektoren brauchst du die Formel: cosα=uvuv\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Die Beträge berechnest du mit u=u12+u22+u32|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.

Den Winkel selbst findest du mit cos1\cos^{-1} auf dem Taschenrechner - vergiss nicht, auf "Degree" zu stellen! Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180°.

Ebenen brauchst du auch: Sie sind durch mindestens drei Punkte festgelegt, die nicht auf einer Geraden liegen. Die Parameterdarstellung lautet: E:x=OA+su+tvE: \vec{x} = \vec{OA} + s\vec{u} + t\vec{v}, wobei u\vec{u} und v\vec{v} nicht parallel sein dürfen.

Rechentrick: Beim cos⁻¹ am GTR: MODE → Degree einstellen, dann 2nd → cos für cos⁻¹!

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*Verschiebungen werden durch Vektoren beschrieben
• Zur Beschreibung einer verschiebung auf einer Ebene werden zwei Angaben


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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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21. Dez. 2025

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Lena

@nennmichlena

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in der Oberstufe und helfen dir dabei, Bewegungen und Positionen im Raum mathematisch zu beschreiben. Mit Vektoren kannst du Geraden und Ebenen darstellen, Schnittpunkte berechnen und sogar Winkel zwischen verschiedenen Objekten bestimmen.

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Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er von A nach B kommt - genau das machen Vektoren! Sie beschreiben Verschiebungen im Raum und brauchen dafür zwei Informationen: Richtung und Länge.

Du kannst Vektoren als Pfeile zeichnen oder mathematisch mit Koordinaten schreiben, zum Beispiel (3\2)\begin{pmatrix} 3\2\end{pmatrix} - das bedeutet 3 Schritte nach rechts und 2 nach oben. Wenn du mehrere Verschiebungen hintereinander machst, addierst du einfach die Vektoren: a+b=c\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}.

Das Coole an Vektoren: Ein Vektor hat unendlich viele Repräsentanten - egal wo du den Pfeil hinzeichnest, solange Länge und Richtung stimmen, ist es derselbe Vektor. Gegenvektoren zeigen in die entgegengesetzte Richtung.

Merktipp: Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie weit und in welche Richtung du gehen musst!

Geraden im Raum

Mit Vektoren kannst du jede Gerade super elegant beschreiben. Die Formel dafür ist: g:x=p+rvg: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v}. Das sieht komplizierter aus als es ist!

Der Stützvektor p\vec{p} gibt dir einen festen Punkt auf der Geraden, und der Richtungsvektor v\vec{v} zeigt dir, in welche Richtung die Gerade verläuft. Mit dem Parameter rr kannst du jeden beliebigen Punkt auf der Geraden erreichen.

Denk daran so: Du startest an einem bekannten Punkt und gehst dann in eine bestimmte Richtung - je nachdem, ob rr positiv, negativ oder null ist, kommst du an verschiedene Stellen auf der Geraden.

Praxistipp: Wenn du eine Gerade aufstellen musst, brauchst du nur zwei Punkte - einer wird dein Stützvektor, der andere hilft dir beim Richtungsvektor!

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Lagebeziehungen von Geraden

Wenn sich zwei Geraden im Raum begegnen, können drei Dinge passieren: Sie sind identisch, parallel oder windschief zueinander. Das systematisch herauszufinden ist gar nicht so schwer!

Zuerst checkst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind - das bedeutet, ob sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. Falls ja, machst du eine Punktprobe: Liegt der Stützvektor der einen Geraden auf der anderen? Wenn ja, sind die Geraden identisch, wenn nein, sind sie parallel.

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, machst du eine Schnittpunktuntersuchung. Entweder findest du einen Schnittpunkt oder die Geraden sind windschief - das bedeutet, sie laufen aneinander vorbei ohne sich zu treffen.

Kollinearität checkst du so: (u1 u2 u3)=a(v1 v2 v3)\begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}. Wenn alle drei Zeilen das gleiche aa ergeben, sind die Vektoren kollinear.

GTR-Tipp: Für komplizierte Berechnungen kannst du den GTR nutzen: Matrix eingeben und mit rref( ) diagonalisieren!

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Schnittpunkte berechnen

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Zuerst stellst du die Gleichung auf: p1+rv1=p2+tv2\vec{p_1} + r \cdot \vec{v_1} = \vec{p_2} + t \cdot \vec{v_2}. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Zeilen fu¨rx,yundzKoordinatefür x, y und z-Koordinate und zwei Unbekannten ($r$ und $t$).

Jetzt wandelst du das System in eine Matrix um und diagonalisierst es. Wenn du eindeutige Werte für rr und tt bekommst, haben die Geraden einen Schnittpunkt. Setzt du einen der Parameter in die ursprüngliche Geradengleichung ein, erhältst du die Koordinaten des Schnittpunkts.

Das Skalarprodukt brauchst du für andere Berechnungen: uv=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3. Es ist immer eine reelle Zahl, kein Vektor!

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Orthogonalität und Winkel

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander - das erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt null ergibt: uv=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Das ist super praktisch für viele Aufgaben!

Für Winkel zwischen Vektoren brauchst du die Formel: cosα=uvuv\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Die Beträge berechnest du mit u=u12+u22+u32|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.

Den Winkel selbst findest du mit cos1\cos^{-1} auf dem Taschenrechner - vergiss nicht, auf "Degree" zu stellen! Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180°.

Ebenen brauchst du auch: Sie sind durch mindestens drei Punkte festgelegt, die nicht auf einer Geraden liegen. Die Parameterdarstellung lautet: E:x=OA+su+tvE: \vec{x} = \vec{OA} + s\vec{u} + t\vec{v}, wobei u\vec{u} und v\vec{v} nicht parallel sein dürfen.

Rechentrick: Beim cos⁻¹ am GTR: MODE → Degree einstellen, dann 2nd → cos für cos⁻¹!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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