App öffnen

Fächer

1.235

23. Jan. 2026

5 Seiten

Einführung in die Vektorrechnung: Grundlagen und Anwendungen

user profile picture

Franzi

@fr4nziska_

Vektorrechnung ist dein Werkzeug, um mit Punkten, Strecken und Bewegungen... Mehr anzeigen

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
1 / 5
### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Punkte und Figuren im Raum

Jeder Punkt im Raum hat eine eindeutige "Adresse" mit drei Koordinaten: P(p₁|p₂|p₃). Das ist wie eine Wegbeschreibung: Geh p₁ Schritte in x₁-Richtung, dann p₂ Schritte in x₂-Richtung und schließlich p₃ Schritte in x₃-Richtung.

Je nachdem, wo Punkte liegen, haben sie besondere Eigenschaften. Punkte auf der x₁-Achse haben die Form P(x₁|0|0), weil sie nur in eine Richtung vom Ursprung entfernt sind. Punkte in der x₁x₂-Ebene haben dagegen die Form P(x₁|x₂|0) - ihre dritte Koordinate ist null.

💡 Merkregel: Wenn eine Koordinate null ist, liegt der Punkt auf einer Achse oder in einer Ebene!

Die Skalierung hilft dir beim Zeichnen: Eine Kästchendiagonale in x₁-Richtung entspricht einer Längeneinheit, bei x₂ und x₃ sind es zwei Kästchen pro Einheit.

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Abstände und Vektoren

Den Abstand zwischen zwei Punkten P(p₁,p₂,p₃) und Q(q₁,q₂,q₃) berechnest du mit der Formel: d = √(p1q1)2+(p2q2)2+(p3q3)2(p₁-q₁)² + (p₂-q₂)² + (p₃-q₃)². Das ist im Grunde der dreidimensionale Satz des Pythagoras!

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - sie zeigen dir, wie du von einem Punkt zu einem anderen kommst. Der Vektor AB\vec{AB} verschiebt Punkt A genau auf Punkt B. Besonders wichtig ist der Ortsvektor OA\vec{OA}, der vom Nullpunkt zu einem Punkt führt.

Der Betrag eines Vektors |v\vec{v}| = √v12+v22+v32v₁² + v₂² + v₃² gibt dir seine Länge an. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit: MAB=OA+12AB\vec{M_{AB}} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}.

💡 Tipp: Der Gegenvektor BA\vec{BA} hat einfach alle Vorzeichen umgedreht!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Rechnen mit Vektoren

Mit Vektoren rechnest du ähnlich wie mit normalen Zahlen, nur dass du jede Koordinate einzeln behandelst. Bei der Vektoraddition addierst du entsprechende Koordinaten: a+b=(a1+b1 a2+b2 a3+b3)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a₁+b₁\ a₂+b₂\ a₃+b₃ \end{pmatrix}. Geometrisch bedeutet das: Hänge die Pfeile hintereinander.

Die Subtraktion funktioniert genauso, nur ziehst du ab. Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jede Koordinate mit derselben Zahl r: ra=(ra1 ra2 ra3)r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a₁\ r \cdot a₂\ r \cdot a₃ \end{pmatrix}. Dadurch wird der Vektor r-mal so lang.

Kollineare Vektoren sind besonders wichtig: Wenn b=ra\vec{b} = r \cdot \vec{a}, dann sind sie kollinear (parallel). Eine Linearkombination wie ra+sb+tcr \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} kombiniert mehrere Vektoren miteinander.

💡 Rechenregeln: Es gelten die gleichen Gesetze wie bei reellen Zahlen - Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Geraden im Raum

Eine Parametergleichung einer Geraden hat die Form: g: x=p+tu\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}. Dabei ist p\vec{p} der Stützvektor (zeigt zu einem Punkt auf der Geraden) und u\vec{u} der Richtungsvektor (zeigt die Richtung an). Der Parameter t kann jede reelle Zahl sein.

Das Geniale: Du kannst unendlich viele verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade aufstellen! Jeden Punkt auf der Geraden kannst du als Stützpunkt nehmen, und jeden Richtungsvektor kannst du mit einer Zahl multiplizieren.

Zwei Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten verhalten: Sie sind identisch (gleiche Gerade), echt parallel (parallel aber verschieden), sie schneiden sich in einem Punkt oder sie sind windschief (kreuzen sich ohne Schnittpunkt).

💡 Merkhilfe: Windschief gibt es nur im Raum - in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneiden sich!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Lagebeziehungen und Anwendungen

Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, gehst du systematisch vor: Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, machst du eine Punktprobe - liegt ein Punkt der ersten Geraden auch auf der zweiten?

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, setzt du die Geradengleichungen gleich und löst das Gleichungssystem. Hat es eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Hat es keine Lösung, sind sie windschief.

Bei geradlinigen Bewegungen modellierst du den Ort zum Zeitpunkt t mit: x=p+tv\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}. Dabei ist p\vec{p} der Startort beit=0bei t=0 und v\vec{v} die Verschiebung pro Zeiteinheit. Der Betrag |v\vec{v}| gibt die Geschwindigkeit an.

💡 Praxis-Tipp: Die x₃-Koordinate gibt oft die Tiefe oder Höhe an - das hilft beim räumlichen Vorstellen!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Vektoraddition

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

1.235

23. Jan. 2026

5 Seiten

Einführung in die Vektorrechnung: Grundlagen und Anwendungen

user profile picture

Franzi

@fr4nziska_

Vektorrechnung ist dein Werkzeug, um mit Punkten, Strecken und Bewegungen im dreidimensionalen Raum zu arbeiten. Stell dir vor, du könntest jeden Punkt im Raum eindeutig beschreiben und Bewegungen mathematisch darstellen - genau das macht die Vektorrechnung möglich!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Punkte und Figuren im Raum

Jeder Punkt im Raum hat eine eindeutige "Adresse" mit drei Koordinaten: P(p₁|p₂|p₃). Das ist wie eine Wegbeschreibung: Geh p₁ Schritte in x₁-Richtung, dann p₂ Schritte in x₂-Richtung und schließlich p₃ Schritte in x₃-Richtung.

Je nachdem, wo Punkte liegen, haben sie besondere Eigenschaften. Punkte auf der x₁-Achse haben die Form P(x₁|0|0), weil sie nur in eine Richtung vom Ursprung entfernt sind. Punkte in der x₁x₂-Ebene haben dagegen die Form P(x₁|x₂|0) - ihre dritte Koordinate ist null.

💡 Merkregel: Wenn eine Koordinate null ist, liegt der Punkt auf einer Achse oder in einer Ebene!

Die Skalierung hilft dir beim Zeichnen: Eine Kästchendiagonale in x₁-Richtung entspricht einer Längeneinheit, bei x₂ und x₃ sind es zwei Kästchen pro Einheit.

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Abstände und Vektoren

Den Abstand zwischen zwei Punkten P(p₁,p₂,p₃) und Q(q₁,q₂,q₃) berechnest du mit der Formel: d = √(p1q1)2+(p2q2)2+(p3q3)2(p₁-q₁)² + (p₂-q₂)² + (p₃-q₃)². Das ist im Grunde der dreidimensionale Satz des Pythagoras!

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - sie zeigen dir, wie du von einem Punkt zu einem anderen kommst. Der Vektor AB\vec{AB} verschiebt Punkt A genau auf Punkt B. Besonders wichtig ist der Ortsvektor OA\vec{OA}, der vom Nullpunkt zu einem Punkt führt.

Der Betrag eines Vektors |v\vec{v}| = √v12+v22+v32v₁² + v₂² + v₃² gibt dir seine Länge an. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit: MAB=OA+12AB\vec{M_{AB}} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}.

💡 Tipp: Der Gegenvektor BA\vec{BA} hat einfach alle Vorzeichen umgedreht!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Rechnen mit Vektoren

Mit Vektoren rechnest du ähnlich wie mit normalen Zahlen, nur dass du jede Koordinate einzeln behandelst. Bei der Vektoraddition addierst du entsprechende Koordinaten: a+b=(a1+b1 a2+b2 a3+b3)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a₁+b₁\ a₂+b₂\ a₃+b₃ \end{pmatrix}. Geometrisch bedeutet das: Hänge die Pfeile hintereinander.

Die Subtraktion funktioniert genauso, nur ziehst du ab. Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jede Koordinate mit derselben Zahl r: ra=(ra1 ra2 ra3)r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a₁\ r \cdot a₂\ r \cdot a₃ \end{pmatrix}. Dadurch wird der Vektor r-mal so lang.

Kollineare Vektoren sind besonders wichtig: Wenn b=ra\vec{b} = r \cdot \vec{a}, dann sind sie kollinear (parallel). Eine Linearkombination wie ra+sb+tcr \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} kombiniert mehrere Vektoren miteinander.

💡 Rechenregeln: Es gelten die gleichen Gesetze wie bei reellen Zahlen - Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Geraden im Raum

Eine Parametergleichung einer Geraden hat die Form: g: x=p+tu\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}. Dabei ist p\vec{p} der Stützvektor (zeigt zu einem Punkt auf der Geraden) und u\vec{u} der Richtungsvektor (zeigt die Richtung an). Der Parameter t kann jede reelle Zahl sein.

Das Geniale: Du kannst unendlich viele verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade aufstellen! Jeden Punkt auf der Geraden kannst du als Stützpunkt nehmen, und jeden Richtungsvektor kannst du mit einer Zahl multiplizieren.

Zwei Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten verhalten: Sie sind identisch (gleiche Gerade), echt parallel (parallel aber verschieden), sie schneiden sich in einem Punkt oder sie sind windschief (kreuzen sich ohne Schnittpunkt).

💡 Merkhilfe: Windschief gibt es nur im Raum - in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneiden sich!

### III. Vektorrechnung

### 1. Punkte und Figuren im Raum

DEFINITION

*   jeder Punkt P ist durch drei Koordinaten p₁,p₂,p₃ eindeutig best

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Lagebeziehungen und Anwendungen

Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, gehst du systematisch vor: Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, machst du eine Punktprobe - liegt ein Punkt der ersten Geraden auch auf der zweiten?

Falls die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, setzt du die Geradengleichungen gleich und löst das Gleichungssystem. Hat es eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Hat es keine Lösung, sind sie windschief.

Bei geradlinigen Bewegungen modellierst du den Ort zum Zeitpunkt t mit: x=p+tv\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}. Dabei ist p\vec{p} der Startort beit=0bei t=0 und v\vec{v} die Verschiebung pro Zeiteinheit. Der Betrag |v\vec{v}| gibt die Geschwindigkeit an.

💡 Praxis-Tipp: Die x₃-Koordinate gibt oft die Tiefe oder Höhe an - das hilft beim räumlichen Vorstellen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

29

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Vektoren und Ebenen

Erfahre alles über das Skalarprodukt, die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren, orthogonale Vektoren und die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Parametergleichung von Geraden und zur Normalenform von Ebenen.

MatheMathe
12

Vektoren und Punkte im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren und Punkte im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Parametergleichung einer Geraden, die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Abständen sowie die Konzepte der Kollinearität und Linearkombinationen. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.

MatheMathe
11

Vektoren und Abstände

Erforschen Sie die Konzepte von Vektoren, Abständen zwischen Punkten, Linearkombinationen und Kollinearität. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Berechnung von Vektorlängen, dem Mittelpunkt einer Strecke und den Bedingungen für Kollinearität. Ideal für Studierende der Multivariablen Analysis.

MatheMathe
13

Mathematik: Analysis Grundlagen

Umfassende Zusammenfassung der Grundlagen der mathematischen Analysis für die Oberstufe. Behandelt Themen wie Ableitungen, Kurvenverlauf, Vektoreigenschaften und Anwendungen der Differenzierung. Ideal für Schüler der 11. Klasse in Bayern, die sich auf Klausuren vorbereiten möchten.

MatheMathe
11

Vektoren: Verbindungs- und Gegenvektoren

Entdecken Sie die Konzepte von Verbindungsvektoren, Nullvektoren und Gegenvektoren in einem 3D-Koordinatensystem. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Übungsaufgaben mit Lösungen, um Ihr Verständnis der Vektorproperties zu vertiefen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Vektorrechnung verbessern möchten.

MatheMathe
11

Spiegelung und Abstände

Erforschen Sie die Konzepte der Spiegelung, Symmetrie und Abstände in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene, die Bestimmung von Schnittwinkeln zwischen Vektoren und die Anwendung des Vektorprodukts. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der geometrischen Beziehungen vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Beliebteste Inhalte: Vektoraddition

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user