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Zahlenfolgen einfach erklärt

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Zahlenfolgen sind eine wichtige Grundlage für die Oberstufen-Mathematik und begegnen... Mehr anzeigen

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# Zahlenfolgen Der Grenzwertbegriff * Bei einer Zahlenfolge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird jedem $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a

Was sind Zahlenfolgen?

Eine Zahlenfolge ist eigentlich ganz einfach: Du ordnest jeder natürlichen Zahl n (also 1, 2, 3, ...) eine bestimmte reelle Zahl zu. Das nennt man dann das n-te Folgenglied ana_n.

Die meisten Folgen haben explizite Vorschriften - das bedeutet, du kannst direkt ausrechnen, was ana_n ist. Ein paar klassische Beispiele: an=na_n = n (also 1, 2, 3, 4, ...), an=1na_n = \frac{1}{n} also1,1/2,1/3,1/4,...also 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... oder an=(−1)na_n = (-1)^n also−1,1,−1,1,...also -1, 1, -1, 1, ....

Mit diesen Grundlagen kannst du schon die wichtigsten Folgentypen verstehen und berechnen.

# Zahlenfolgen Der Grenzwertbegriff * Bei einer Zahlenfolge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird jedem $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a

Visualisierung von Folgen

Grafiken helfen dir mega dabei, Folgen zu verstehen! Bei an=1na_n = \frac{1}{n} siehst du, wie die Werte immer kleiner werden und sich der Null nähern.

Die Folge an=(−1)na_n = (-1)^n springt dagegen ewig zwischen -1 und 1 hin und her. Solche alternierenden Folgen erkennst du oft am Vorzeichen (−1)n(-1)^n.

Tipp: Zeichne dir die ersten paar Glieder auf - das macht das Verhalten der Folge sofort klar!

# Zahlenfolgen Der Grenzwertbegriff * Bei einer Zahlenfolge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird jedem $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a

Beschränktheit von Folgen

Beschränkte Folgen können nicht über alle Grenzen hinauswachsen. Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl C gibt, die kein Folgenglied überschreitet: an≤Ca_n \leq C.

Genauso funktioniert's nach unten: Die Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl c gibt mit an≥ca_n \geq c für alle n. Die Folge an=1na_n = \frac{1}{n} ist zum Beispiel nach oben durch 1 und nach unten durch 0 beschränkt.

Merkhilfe: Stell dir vor, die Folge ist in einer "Box" gefangen - dann ist sie beschränkt!

# Zahlenfolgen Der Grenzwertbegriff * Bei einer Zahlenfolge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird jedem $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a

Monotonie - Steigt oder fällt die Folge?

Monotone Folgen haben ein klares Verhalten: Sie steigen nur oder fallen nur. Eine Folge ist (streng) monoton steigend, wenn jedes Glied größer (oder gleich) dem vorherigen ist: an+1≥ana_{n+1} \geq a_n.

Bei (streng) monoton fallenden Folgen wird jedes Glied kleiner: an+1≤ana_{n+1} \leq a_n. Die Folge an=na_n = n steigt monoton, während an=1na_n = \frac{1}{n} monoton fällt.

Der Unterschied zwischen "monoton" und "streng monoton" liegt im Gleichheitszeichen - bei streng monoton sind keine gleichen Werte erlaubt.

Praxis-Tipp: Berechne an+1−ana_{n+1} - a_n - ist das Ergebnis positiv, steigt die Folge!

# Zahlenfolgen Der Grenzwertbegriff * Bei einer Zahlenfolge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird jedem $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a

Grenzwerte - Wohin geht die Reise?

Der Grenzwert lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n lies: "Limes von $a_n$ für n gegen unendlich" zeigt dir, wohin sich eine Folge entwickelt. Das ist super wichtig für's Abi!

Wenn sich die Folgenglieder einer bestimmten Zahl a immer mehr annähern, nennt man die Folge konvergent und schreibt lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_n = a. Ein klassisches Beispiel: lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.

Die Folgenglieder müssen den Grenzwert nicht erreichen - sie nähern sich nur immer mehr an. Das ist der Schlüssel zum Verständnis von Grenzwerten.

Abi-relevant: Grenzwerte sind Pflichtthema und kommen in fast jeder Klausur vor!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Lena M

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Eine Zahlenfolge ist eigentlich ganz einfach: Du ordnest jeder natürlichen Zahl n (also 1, 2, 3, ...) eine bestimmte reelle Zahl zu. Das nennt man dann das n-te Folgenglied ana_n.

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Lineare Funktionen verstehen

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Stefan S

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Samantha Klich

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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