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ZAP Mathe Lernhilfe: Lineare und Quadratische Funktionen, Sinus, Stochastik

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Maja

9.12.2025

Mathe

ZAP Mathe Lernzettel

4.168

9. Dez. 2025

13 Seiten

ZAP Mathe Lernhilfe: Lineare und Quadratische Funktionen, Sinus, Stochastik

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Maja

@sip_and_study

Mathe kann manchmal kompliziert wirken, aber mit den richtigen Grundlagen... Mehr anzeigen

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# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

2
Bsp
1

y

Lineare Funktionen

Du kennst sie bestimmt schon - lineare Funktionen sind die geraden Linien in deinem Koordinatensystem. Die allgemeine Form ist f(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt darstellt.

Die Steigung m berechnest du mit der Formel m = y1y2y₁-y₂/x1x2x₁-x₂. Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie. Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 in die Gleichung einsetzt.

Beim Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei Möglichkeiten: keine Lösung (parallele Geraden), eine Lösung (ein Schnittpunkt) oder unendlich viele Lösungen (Geraden liegen übereinander). Das erkennst du schnell an der Form deiner Gleichungen.

Tipp: Das Steigungsdreieck hilft dir, die Steigung grafisch zu bestimmen - einfach "hoch durch quer" rechnen!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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Bsp
1

y

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du am x² - sie bilden immer eine Parabel. Es gibt drei wichtige Formen: die Normalform f(x) = ax² + bx + c, die Scheitelpunktform f(x) = axdx-d² + e und die faktorisierte Form.

Das Aussehen der Parabel hängt von a ab: Bei a > 0 öffnet sie sich nach oben, bei a < 0 nach unten. Ist |a| > 1, wird sie gestreckt; ist |a| < 1, wird sie gestaucht.

Die p-q-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q hilft dir beim Berechnen der Nullstellen. Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) zeigt dir: negativ = keine Lösung, null = eine Lösung, positiv = zwei Lösungen.

Merkhilfe: Die quadratische Ergänzung funktioniert immer mit p/2p/2² - einfach die Hälfte von p nehmen und quadrieren!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

2
Bsp
1

y

Quadratische Funktionen - Lösungswege

Nicht immer brauchst du die p-q-Formel! Es gibt oft schnellere Wege zu den Nullstellen. Bei Gleichungen wie 4x² = 8 kannst du einfach umformen und die Wurzel ziehen.

Die Produkt-Null-Regel ist super praktisch: "Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist." Bei x6x46x-4 = 0 ist entweder x = 0 oder 6x-4 = 0.

Die binomischen Formeln solltest du auswendig können: a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b² und a+ba+baba-b = a² - b². Sie helfen beim Faktorisieren und Vereinfachen.

Praxis-Tipp: Bei der faktorisierten Form f(x) = axx1x-x₁xx2x-x₂ kannst du die Nullstellen direkt ablesen - aber Achtung beim Vorzeichen!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

2
Bsp
1

y

Funktionsgleichungen aufstellen

Wenn du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen musst, verwendest du das Additionsverfahren. Setze beide Punkte in y = x² + px + q ein und löse das entstehende Gleichungssystem.

Der Trick ist, eine Variable zu eliminieren: Multipliziere eine Gleichung so, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable weghebt. Dann kannst du die andere Variable berechnen.

Das Beispiel mit P(-1|7) und Q(4|2) zeigt den Weg: Einsetzen ergibt 7 = 1 - p + q und 2 = 16 + 4p + q. Durch geschicktes Umformen findest du p = -4 und q = 2.

Kontrolle: Setze deine gefundenen Werte zur Sicherheit in beide ursprünglichen Punkte ein - so merkst du sofort, ob alles stimmt!

# Lineare Funktionen

Steigung m
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\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

2
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1

y

Strahlensätze und mehr

Die Strahlensätze helfen bei ähnlichen Dreiecken. Der erste Strahlensatz besagt: SA'/SA = SB'/SB. Merke dir "lang durch kurz = lang durch kurz" - das funktioniert immer.

Der Satz des Pythagoras a² + b² = c² ist das wichtigste Werkzeug für rechtwinklige Dreiecke. Die längste Seite (Hypotenuse) steht immer der rechten Winkel gegenüber.

In Excel musst du vor jede Formel ein Gleichheitszeichen setzen. Wichtige Befehle sind =SUMME() für Addition und =MITTELWERT() für den Durchschnitt. Der Doppelpunkt bedeutet "bis", das Semikolon "und".

Excel-Trick: Verwende Doppelpunkt für Bereiche (A1:A10) und Semikolon für einzelne Zellen (A1;C5;E9).

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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y

Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei Hauptverfahren für Gleichungssysteme: Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Jedes hat seine Stärken je nach Aufgabentyp.

Beim Additionsverfahren machst du die Koeffizienten einer Variable gleich (mit unterschiedlichen Vorzeichen) und addierst dann die Gleichungen. Eine Variable fällt weg, die andere kannst du berechnen.

Das Einsetzungsverfahren funktioniert gut, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich.

Strategietipp: Wähle das Verfahren je nach Aufgabe - manchmal ist eine Gleichung schon "fast fertig" aufgelöst!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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1

y

Sinusfunktion und Änderungsraten

Die Sinusfunktion f(x) = a·sinb(xc)b·(x-c) + d ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Parameter verändern die Funktion: a streckt in y-Richtung, b in x-Richtung, c verschiebt horizontal, d vertikal.

Wichtige Winkel solltest du im Grad- und Bogenmaß kennen: 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π. Das brauchst du für viele Berechnungen.

Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem Punkt - das ist die Ableitung f'(x). Sie zeigt, wie steil die Funktion an dieser Stelle ist.

Umrechnung: Bogenmaß = Gradmaß · π/180. Das brauchst du oft bei trigonometrischen Funktionen!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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Funktionen transformieren

Transformationen verändern das Aussehen von Funktionen systematisch. Die allgemeine Form ist g(x) = a·fb(xc)b(x-c) + d mit dem Scheitelpunkt S(c|d).

Streckungen funktionieren so: In y-Richtung multiplizierst du mit k, in x-Richtung ersetzt du x durch k·x. Achtung: Bei x-Richtung ist der Streckfaktor 1/k!

Verschiebungen sind einfacher: Nach rechts um 3 wird zu fx3x-3, nach links um 2 wird zu fx+2x+2. Nach oben um 3: f(x)+3, nach unten um 2: f(x)-2.

Eselsbrücke: Bei Verschiebungen in x-Richtung ist das Vorzeichen immer "verkehrt herum" - das verwirrt viele!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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y

Lösungsverfahren im Überblick

Für verschiedene Gleichungstypen gibt es verschiedene Lösungsverfahren. Die Produkt-Null-Regel funktioniert bei Produkten: x4x+24x+2 = 0 bedeutet x = 0 oder 4x+2 = 0.

Die p-q-Formel ist dein Standard-Werkzeug für quadratische Gleichungen: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q. Sie funktioniert immer, wenn die Gleichung in der Form x² + px + q = 0 steht.

Bei höheren Potenzen hilft die Substitution: Ersetze x² durch z, löse die neue Gleichung und substitute zurück. Aus x⁴ + 16 - 17x² wird z² + 16 - 17z.

Strategiewahl: Überlege immer zuerst, welches Verfahren am einfachsten ist - manchmal siehst du die Lösung direkt!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

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y

Funktionen verstehen

Ganzrationale Funktionen sind Polynome wie f(x) = -x² + 2x + 3. Sie haben bestimmte Eigenschaften, die du systematisch untersuchen kannst.

Der Definitionsbereich umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Der Wertebereich sind alle y-Werte, die herauskommen können. Bei Polynomen ist der Definitionsbereich meist alle reellen Zahlen.

Wichtige Begriffe: Die Funktionsvorschrift ist f: x → 3x² + 5, die Funktionsgleichung ist f(x) = 3x² + 5, der Funktionsterm ist 3x² + 5. Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Grundregel: Bei Funktionen führt jeder x-Wert zu genau einem y-Wert - das ist die Definition einer Funktion!



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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathe kann manchmal kompliziert wirken, aber mit den richtigen Grundlagen wird alles viel einfacher! Hier bekommst du eine klare Übersicht über wichtige Themen wie lineare und quadratische Funktionen, Gleichungssysteme und vieles mehr.

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

Steigung y-Achsenabschnitt

Steigungsdreieck

y
x

2
Bsp
1

y

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Lineare Funktionen

Du kennst sie bestimmt schon - lineare Funktionen sind die geraden Linien in deinem Koordinatensystem. Die allgemeine Form ist f(x) = mx + b, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt darstellt.

Die Steigung m berechnest du mit der Formel m = y1y2y₁-y₂/x1x2x₁-x₂. Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie. Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 in die Gleichung einsetzt.

Beim Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei Möglichkeiten: keine Lösung (parallele Geraden), eine Lösung (ein Schnittpunkt) oder unendlich viele Lösungen (Geraden liegen übereinander). Das erkennst du schnell an der Form deiner Gleichungen.

Tipp: Das Steigungsdreieck hilft dir, die Steigung grafisch zu bestimmen - einfach "hoch durch quer" rechnen!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

f(x)= mx+b

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y
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Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen erkennst du am x² - sie bilden immer eine Parabel. Es gibt drei wichtige Formen: die Normalform f(x) = ax² + bx + c, die Scheitelpunktform f(x) = axdx-d² + e und die faktorisierte Form.

Das Aussehen der Parabel hängt von a ab: Bei a > 0 öffnet sie sich nach oben, bei a < 0 nach unten. Ist |a| > 1, wird sie gestreckt; ist |a| < 1, wird sie gestaucht.

Die p-q-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q hilft dir beim Berechnen der Nullstellen. Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) zeigt dir: negativ = keine Lösung, null = eine Lösung, positiv = zwei Lösungen.

Merkhilfe: Die quadratische Ergänzung funktioniert immer mit p/2p/2² - einfach die Hälfte von p nehmen und quadrieren!

# Lineare Funktionen

Steigung m
m=$
\frac{(y_1-y_2)}{(X_1-X_2)}$

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Quadratische Funktionen - Lösungswege

Nicht immer brauchst du die p-q-Formel! Es gibt oft schnellere Wege zu den Nullstellen. Bei Gleichungen wie 4x² = 8 kannst du einfach umformen und die Wurzel ziehen.

Die Produkt-Null-Regel ist super praktisch: "Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist." Bei x6x46x-4 = 0 ist entweder x = 0 oder 6x-4 = 0.

Die binomischen Formeln solltest du auswendig können: a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b² und a+ba+baba-b = a² - b². Sie helfen beim Faktorisieren und Vereinfachen.

Praxis-Tipp: Bei der faktorisierten Form f(x) = axx1x-x₁xx2x-x₂ kannst du die Nullstellen direkt ablesen - aber Achtung beim Vorzeichen!

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Steigung m
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Funktionsgleichungen aufstellen

Wenn du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen musst, verwendest du das Additionsverfahren. Setze beide Punkte in y = x² + px + q ein und löse das entstehende Gleichungssystem.

Der Trick ist, eine Variable zu eliminieren: Multipliziere eine Gleichung so, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable weghebt. Dann kannst du die andere Variable berechnen.

Das Beispiel mit P(-1|7) und Q(4|2) zeigt den Weg: Einsetzen ergibt 7 = 1 - p + q und 2 = 16 + 4p + q. Durch geschicktes Umformen findest du p = -4 und q = 2.

Kontrolle: Setze deine gefundenen Werte zur Sicherheit in beide ursprünglichen Punkte ein - so merkst du sofort, ob alles stimmt!

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Strahlensätze und mehr

Die Strahlensätze helfen bei ähnlichen Dreiecken. Der erste Strahlensatz besagt: SA'/SA = SB'/SB. Merke dir "lang durch kurz = lang durch kurz" - das funktioniert immer.

Der Satz des Pythagoras a² + b² = c² ist das wichtigste Werkzeug für rechtwinklige Dreiecke. Die längste Seite (Hypotenuse) steht immer der rechten Winkel gegenüber.

In Excel musst du vor jede Formel ein Gleichheitszeichen setzen. Wichtige Befehle sind =SUMME() für Addition und =MITTELWERT() für den Durchschnitt. Der Doppelpunkt bedeutet "bis", das Semikolon "und".

Excel-Trick: Verwende Doppelpunkt für Bereiche (A1:A10) und Semikolon für einzelne Zellen (A1;C5;E9).

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Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei Hauptverfahren für Gleichungssysteme: Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Jedes hat seine Stärken je nach Aufgabentyp.

Beim Additionsverfahren machst du die Koeffizienten einer Variable gleich (mit unterschiedlichen Vorzeichen) und addierst dann die Gleichungen. Eine Variable fällt weg, die andere kannst du berechnen.

Das Einsetzungsverfahren funktioniert gut, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich.

Strategietipp: Wähle das Verfahren je nach Aufgabe - manchmal ist eine Gleichung schon "fast fertig" aufgelöst!

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Sinusfunktion und Änderungsraten

Die Sinusfunktion f(x) = a·sinb(xc)b·(x-c) + d ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Parameter verändern die Funktion: a streckt in y-Richtung, b in x-Richtung, c verschiebt horizontal, d vertikal.

Wichtige Winkel solltest du im Grad- und Bogenmaß kennen: 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π. Das brauchst du für viele Berechnungen.

Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem Punkt - das ist die Ableitung f'(x). Sie zeigt, wie steil die Funktion an dieser Stelle ist.

Umrechnung: Bogenmaß = Gradmaß · π/180. Das brauchst du oft bei trigonometrischen Funktionen!

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Funktionen transformieren

Transformationen verändern das Aussehen von Funktionen systematisch. Die allgemeine Form ist g(x) = a·fb(xc)b(x-c) + d mit dem Scheitelpunkt S(c|d).

Streckungen funktionieren so: In y-Richtung multiplizierst du mit k, in x-Richtung ersetzt du x durch k·x. Achtung: Bei x-Richtung ist der Streckfaktor 1/k!

Verschiebungen sind einfacher: Nach rechts um 3 wird zu fx3x-3, nach links um 2 wird zu fx+2x+2. Nach oben um 3: f(x)+3, nach unten um 2: f(x)-2.

Eselsbrücke: Bei Verschiebungen in x-Richtung ist das Vorzeichen immer "verkehrt herum" - das verwirrt viele!

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Lösungsverfahren im Überblick

Für verschiedene Gleichungstypen gibt es verschiedene Lösungsverfahren. Die Produkt-Null-Regel funktioniert bei Produkten: x4x+24x+2 = 0 bedeutet x = 0 oder 4x+2 = 0.

Die p-q-Formel ist dein Standard-Werkzeug für quadratische Gleichungen: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q. Sie funktioniert immer, wenn die Gleichung in der Form x² + px + q = 0 steht.

Bei höheren Potenzen hilft die Substitution: Ersetze x² durch z, löse die neue Gleichung und substitute zurück. Aus x⁴ + 16 - 17x² wird z² + 16 - 17z.

Strategiewahl: Überlege immer zuerst, welches Verfahren am einfachsten ist - manchmal siehst du die Lösung direkt!

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Funktionen verstehen

Ganzrationale Funktionen sind Polynome wie f(x) = -x² + 2x + 3. Sie haben bestimmte Eigenschaften, die du systematisch untersuchen kannst.

Der Definitionsbereich umfasst alle x-Werte, die du einsetzen kannst. Der Wertebereich sind alle y-Werte, die herauskommen können. Bei Polynomen ist der Definitionsbereich meist alle reellen Zahlen.

Wichtige Begriffe: Die Funktionsvorschrift ist f: x → 3x² + 5, die Funktionsgleichung ist f(x) = 3x² + 5, der Funktionsterm ist 3x² + 5. Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Grundregel: Bei Funktionen führt jeder x-Wert zu genau einem y-Wert - das ist die Definition einer Funktion!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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