Wahrscheinlichkeitsrechnung - Die Grundlagen

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie sehr wir ein bestimmtes Ereignis erwarten können. Sie liegt immer zwischen 0% (unmöglich) und 100% (sicher). Beim Würfel ist zum Beispiel P(3) = 1/6, während P(7) = 0 ist, da ein normaler Würfel nur 6 Seiten hat.

Das Gesetz der großen Zahlen zeigt: Je öfter du ein Experiment wiederholst, desto näher kommst du dem erwarteten Wert. Wirfst du eine Münze nur 10 Mal, kann das Ergebnis stark schwanken - bei 1000 Würfen wirst du fast genau 50% Kopf bekommen.

Baumdiagramme helfen dir bei mehrstufigen Experimenten wie dem zweifachen Münzwurf. Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades (Produktregel) und addierst verschiedene Pfade für ein Ereignis (Summenregel). Bei P(Kopf & Zahl) addierst du 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5.

Merke dir: Die Summe aller möglichen Ereignisse muss immer 1 (oder 100%) ergeben!

Laplace-Versuche sind besonders einfach, weil alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Formel lautet: P(E) = (Anzahl günstiger Ergebnisse) / (Anzahl möglicher Ergebnisse). Beim Würfel ist P(gerade Zahl) = 3/6 = 1/2.

Venn-Diagramme zeigen Zusammenhänge zwischen Ereignissen visuell. A ∩ B ist die Schnittmenge (beide Ereignisse treffen zu), A ∪ B die Vereinigung (mindestens eins trifft zu) und Ā das Gegenereignis.

Bei Häufigkeiten unterscheidest du zwischen absoluter Häufigkeit Ha(A) (wie oft etwas passiert ist) und relativer Häufigkeit Hr(A) = Ha(A)/n (Anteil an der Gesamtzahl). Fällt beim 100-maligen Würfeln 20 Mal die Sechs, ist Hr(6) = 20/100 = 20%.

Kombinatorik hilft dir, die Anzahl verschiedener Anordnungen zu bestimmen. Bei 6 verschiedenen Flaschen gibt es 6! = 720 Anordnungsmöglichkeiten. Die Fakultät n! bedeutet: multipliziere alle ganzen Zahlen von 1 bis n. Wichtig: 0! = 1!

Die Vierfeldertafel organisiert komplexere Wahrscheinlichkeiten übersichtlich und zeigt die Zusammenhänge zwischen zwei Eigenschaften auf einen Blick.