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2.153
•
4. Dez. 2025
•
ilxrix
@ilxrix_49731e
Tangenten und Geradenscharen sind super wichtige Themen in der 11.... Mehr anzeigen
Hier startest du deine Reise in die Welt der Tangenten - das sind Geraden, die eine Kurve genau an einem Punkt berühren. Diese werden dir später bei der Differentialrechnung super helfen!
Du kannst den Graphen einer Ableitungsfunktion f' zeichnen, indem du die Steigungen der Tangenten an verschiedenen Punkten der ursprünglichen Funktion f betrachtest. Das ist wie ein Detektivspiel - jede Tangentensteigung verrät dir einen Punkt der Ableitung!
Die Tangentensteigung an jedem Punkt entspricht genau dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle. Wenn die Tangente horizontal verläuft , dann hat auch die Ableitungsfunktion dort den Wert null.
Merktipp: Steile Tangente = große Ableitungswerte, flache Tangente = kleine Ableitungswerte
Das Aufstellen einer Tangentengleichung ist eigentlich ganz einfach, wenn du die vier Schritte befolgst. Du brauchst nur einen Punkt und die Steigung - genau wie bei jeder anderen Geraden auch!
Schritt 1: Bestimme den y-Wert des Berührpunkts mit y₀ = f(x₀). Schritt 2: Berechne die Steigung m = f'(x₀) durch die erste Ableitung. Schritt 3: Setze alles in y = mx + t ein und löse nach t auf.
Am Ende hast du deine Tangentengleichung t(x) = mx + t. Das klappt bei jeder differenzierbaren Funktion!
Praxistipp: Vergiss nicht, zuerst die Ableitung zu bilden - ohne sie geht nichts!
Manchmal suchst du nicht die Steigung, sondern die Berührpunkte mit einer bestimmten Steigung. Das ist wie rückwärts rechnen - aber genauso machbar!
Du setzt f'(x) = m (die gewünschte Steigung) und löst nach x auf. So findest du alle x-Werte, an denen die Funktion diese Steigung hat.
Dann berechnest du die zugehörigen y-Werte mit y = f(x). Fertig sind deine Berührpunkte! Bei quadratischen Ableitungen bekommst du oft zwei Lösungen.
Achtung: Es kann mehrere Punkte mit derselben Steigung geben!
Wendetangenten sind Tangenten an Wendepunkten - dort ändert die Kurve ihr Krümmungsverhalten. Diese Tangenten haben oft besondere Eigenschaften!
Du bestimmst zuerst die Wendepunkte mit f''(x) = 0, dann berechnest du die Steigungen mit f'(xw). Der Rest läuft wie bei normalen Tangenten ab.
Wendetangenten schneiden oft den Funktionsgraphen nicht nur im Wendepunkt, sondern auch an anderen Stellen. Das macht sie besonders interessant für Kurvendiskussionen!
Spezialfall: Am Wendepunkt ist die zweite Ableitung null!
Jetzt geht's um Funktionenscharen - das sind Familien von Funktionen mit einem Parameter. Stell dir vor, du hast nicht nur eine Gerade, sondern unendlich viele auf einmal!
Ein Büschelpunkt ist ein spezieller Punkt, durch den alle Geraden einer Geradenschar laufen. Das ist wie ein Knotenpunkt, an dem sich alle Geraden treffen!
Um einen Büschelpunkt zu finden, berechnest du den Schnittpunkt von zwei beliebigen Geraden der Schar. Dann prüfst du, ob dieser Punkt wirklich auf allen Geraden liegt.
Du setzt die Koordinaten in die allgemeine Geradenschar ga(x) ein. Wenn du eine wahre Aussage erhältst (die unabhängig vom Parameter ist), hast du den Büschelpunkt gefunden!
Merkregel: Büschelpunkt = alle Geraden laufen durch denselben Punkt!
Geradenscharen enthalten einen Parameter (meist k), der verschiedene Werte annehmen kann. Jeder Wert ergibt eine neue Gerade - wie eine ganze Familie von Geraden!
Es gibt zwei wichtige Typen: Parallelenscharen (alle Geraden parallel) und Geradenbüschel (alle treffen sich in einem Punkt). Der Parameter bestimmt, welche Art du vor dir hast.
Bei Parallelenscharen haben alle Geraden dieselbe Steigung, nur der y-Achsenabschnitt ändert sich. Bei Büscheln variiert die Steigung!
Tipp: Schau dir die Steigung an - ist sie konstant oder variabel?
Nullstellen von Geradenscharen findest du, indem du f(x) = 0 setzt und nach x auflöst. Aber Achtung: Du musst aufpassen, durch welche Terme du teilst!
Wenn der Parameter im Nenner steht, brauchst du eine Fallunterscheidung. Prüfe alle kritischen Werte separat - manchmal gibt es keine Nullstelle, manchmal unendlich viele.
Bei Geradenscharen hängt die Anzahl der Nullstellen oft vom Parameter ab. Systematisches Vorgehen mit Fallunterscheidung führt dich sicher zum Ziel!
Wichtig: Niemals durch null teilen - immer Fallunterscheidung machen!
Schnittpunkte zwischen einer Geradenschar und einer festen Geraden findest du durch Gleichsetzen. Aber auch hier lauern Fallen beim Teilen durch Parameter!
Wenn nach dem Umformen der Parameter im Nenner steht, machst du wieder eine Fallunterscheidung. Der kritische Wert führt meist zu parallelen Geraden (kein Schnittpunkt) oder identischen Geraden (unendlich viele Schnittpunkte).
Das systematische Vorgehen ist immer gleich: Gleichsetzen, umformen, Fallunterscheidung bei kritischen Parameterwerten. So findest du alle Schnittpunkte!
Merkhilfe: Parallele Geraden = keine Schnittpunkte, identische Geraden = unendlich viele!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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ilxrix
@ilxrix_49731e
Tangenten und Geradenscharen sind super wichtige Themen in der 11. Klasse, die dir beim Verstehen von Ableitungen und Funktionen helfen. Du lernst hier, wie du Tangentengleichungen aufstellst und mit Parametern arbeitest.
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Hier startest du deine Reise in die Welt der Tangenten - das sind Geraden, die eine Kurve genau an einem Punkt berühren. Diese werden dir später bei der Differentialrechnung super helfen!
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Du kannst den Graphen einer Ableitungsfunktion f' zeichnen, indem du die Steigungen der Tangenten an verschiedenen Punkten der ursprünglichen Funktion f betrachtest. Das ist wie ein Detektivspiel - jede Tangentensteigung verrät dir einen Punkt der Ableitung!
Die Tangentensteigung an jedem Punkt entspricht genau dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle. Wenn die Tangente horizontal verläuft , dann hat auch die Ableitungsfunktion dort den Wert null.
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Das Aufstellen einer Tangentengleichung ist eigentlich ganz einfach, wenn du die vier Schritte befolgst. Du brauchst nur einen Punkt und die Steigung - genau wie bei jeder anderen Geraden auch!
Schritt 1: Bestimme den y-Wert des Berührpunkts mit y₀ = f(x₀). Schritt 2: Berechne die Steigung m = f'(x₀) durch die erste Ableitung. Schritt 3: Setze alles in y = mx + t ein und löse nach t auf.
Am Ende hast du deine Tangentengleichung t(x) = mx + t. Das klappt bei jeder differenzierbaren Funktion!
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Manchmal suchst du nicht die Steigung, sondern die Berührpunkte mit einer bestimmten Steigung. Das ist wie rückwärts rechnen - aber genauso machbar!
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Dann berechnest du die zugehörigen y-Werte mit y = f(x). Fertig sind deine Berührpunkte! Bei quadratischen Ableitungen bekommst du oft zwei Lösungen.
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Wendetangenten sind Tangenten an Wendepunkten - dort ändert die Kurve ihr Krümmungsverhalten. Diese Tangenten haben oft besondere Eigenschaften!
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Ein Büschelpunkt ist ein spezieller Punkt, durch den alle Geraden einer Geradenschar laufen. Das ist wie ein Knotenpunkt, an dem sich alle Geraden treffen!
Um einen Büschelpunkt zu finden, berechnest du den Schnittpunkt von zwei beliebigen Geraden der Schar. Dann prüfst du, ob dieser Punkt wirklich auf allen Geraden liegt.
Du setzt die Koordinaten in die allgemeine Geradenschar ga(x) ein. Wenn du eine wahre Aussage erhältst (die unabhängig vom Parameter ist), hast du den Büschelpunkt gefunden!
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Geradenscharen enthalten einen Parameter (meist k), der verschiedene Werte annehmen kann. Jeder Wert ergibt eine neue Gerade - wie eine ganze Familie von Geraden!
Es gibt zwei wichtige Typen: Parallelenscharen (alle Geraden parallel) und Geradenbüschel (alle treffen sich in einem Punkt). Der Parameter bestimmt, welche Art du vor dir hast.
Bei Parallelenscharen haben alle Geraden dieselbe Steigung, nur der y-Achsenabschnitt ändert sich. Bei Büscheln variiert die Steigung!
Tipp: Schau dir die Steigung an - ist sie konstant oder variabel?
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Nullstellen von Geradenscharen findest du, indem du f(x) = 0 setzt und nach x auflöst. Aber Achtung: Du musst aufpassen, durch welche Terme du teilst!
Wenn der Parameter im Nenner steht, brauchst du eine Fallunterscheidung. Prüfe alle kritischen Werte separat - manchmal gibt es keine Nullstelle, manchmal unendlich viele.
Bei Geradenscharen hängt die Anzahl der Nullstellen oft vom Parameter ab. Systematisches Vorgehen mit Fallunterscheidung führt dich sicher zum Ziel!
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Schnittpunkte zwischen einer Geradenschar und einer festen Geraden findest du durch Gleichsetzen. Aber auch hier lauern Fallen beim Teilen durch Parameter!
Wenn nach dem Umformen der Parameter im Nenner steht, machst du wieder eine Fallunterscheidung. Der kritische Wert führt meist zu parallelen Geraden (kein Schnittpunkt) oder identischen Geraden (unendlich viele Schnittpunkte).
Das systematische Vorgehen ist immer gleich: Gleichsetzen, umformen, Fallunterscheidung bei kritischen Parameterwerten. So findest du alle Schnittpunkte!
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MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Analysis, einschließlich Ableitungen, Integrationsmethoden, quadratische Funktionen, trigonometrische Werte und die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen. Ideal für das Mathematik-Abitur in Hessen. Themen: Kurvenverlauf, Nullstellen, Extrempunkte, und mehr.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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