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Mathe
10. Dez. 2025
4.689
2 Seiten
Adrian @rahgnaar_sjog
Die Ableitungsregeln und ihre Anwendung in der Differentialrechnung
Die Ableitungsregeln bilden das Fundament der Differentialrechnung und ermöglichen die... Mehr anzeigen
Dieses Kapitel behandelt fortgeschrittene Ableitungsregeln, die für die Berechnung von Ableitungen komplexerer Funktionen unerlässlich sind. Zu diesen Regeln gehören die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.
Die Produktregel ermöglicht die Ableitung des Produkts zweier Funktionen. Sie ist besonders nützlich, wenn man mit zusammengesetzten Funktionen arbeitet.
Formel (u(x) · v(x))' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Beispiel Für f(x) = x√x gilt f'(x) = 1 · √x + x · = √x + x/(2√x)
Die Quotientenregel, obwohl nicht mehr im Lehrplan enthalten, ist dennoch ein nützliches Werkzeug für die Ableitung von Bruchfunktionen.
Formel ' = / (v(x))^2
Beispiel Für f(x) = / x gilt f'(x) = / x^2 = / x^2
Die Kettenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen. Sie ermöglicht die Ableitung von Funktionen, die ineinander geschachtelt sind.
Formel (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Beispiel Für f(x) = ^2022 gilt f'(x) = 2022 · ^2021 · 3
Highlight Die Kettenregel ist besonders wichtig für die Ableitung komplexer Funktionen und findet häufig Anwendung in der höheren Mathematik und in den Naturwissenschaften.
Das Konzept der höheren Ableitungen erweitert die Anwendung der Ableitungsregeln. Die zweite Ableitung f''(x) einer Funktion f erhält man durch erneutes Ableiten der ersten Ableitung f'(x). Entsprechend können auch dritte, vierte und höhere Ableitungen berechnet werden.
Vocabulary Differenzierbarkeit bezeichnet die Eigenschaft einer Funktion, an einer bestimmten Stelle oder in einem Intervall ableitbar zu sein.
Die Beherrschung dieser fortgeschrittenen Ableitungsregeln und das Verständnis der Differenzierbarkeit von Funktionen sind grundlegend für die Anwendung der Differentialrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und der Naturwissenschaften. Sie ermöglichen die Analyse von Veränderungsraten, die Optimierung von Funktionen und die Modellierung komplexer Systeme.
Die Ableitungsregeln bilden das Herzstück der Differentialrechnung und ermöglichen die systematische Berechnung von Ableitungen verschiedener Funktionstypen. Dieses Kapitel führt in die grundlegenden Ableitungsregeln ein und erläutert ihre Anwendung anhand von Beispielen.
Definition Die Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung oder Veränderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion immer null ist. Dies lässt sich leicht verstehen, da eine Konstante keine Veränderung aufweist.
Beispiel Für f(x) = k, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist, gilt f'(x) = 0.
Die Potenzregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln und findet häufig Anwendung. Sie ermöglicht die Ableitung von Funktionen mit Potenzen.
Formel Für f(x) = x^r mit r ∈ ℚ gilt f'(x) = r · x^
Beispiel Die Ableitung von f(x) = x^4 ist f'(x) = 4x^3.
Die Summenregel erlaubt es, die Ableitung einer Summe von Funktionen zu berechnen, indem man die Ableitungen der einzelnen Funktionen addiert.
Formel ' = f'(x) + g'(x)
Beispiel Für f(x) = x^3 + 4x gilt f'(x) = 3x^2 + 4.
Die Faktorregel ist eine Erweiterung der Summenregel und besagt, dass man einen konstanten Faktor vor die Ableitung ziehen kann.
Formel (c · f(x))' = c · f'(x), wobei c eine Konstante ist.
Beispiel Die Ableitung von f(x) = 3x^4 ist f'(x) = 3 · 4x^3 = 12x^3.
Diese grundlegenden Ableitungsregeln bilden die Basis für die Berechnung von Ableitungen und sind unerlässlich für das Verständnis komplexerer Regeln und Anwendungen in der Differentialrechnung.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Dieser Lernzettel behandelt arithmetische und geometrische Folgen, deren Grenzwerte sowie die Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit. Er bietet eine klare Übersicht über die Bildungsgesetze, Grenzwertsätze und wichtige Eigenschaften von Folgen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind.
MatheUmfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das mündliche Abitur, einschließlich Kurvendiskussion, Ableitungen, Vektorrechnung, Integrationsregeln, stochastische Probleme und mehr. Ideal für die gezielte Prüfungsvorbereitung.
MatheErfahren Sie alles über die Produktregel in der Differentiation. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, die Ableitungsformel und zahlreiche Beispiele zur Anwendung der Produktregel. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie alles über die Ableitung von Funktionen, die H-Methode und wichtige Differentiationsregeln. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Differenzialrechnung, einschließlich der lokalen Änderungsrate und des Differenzenquotienten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen von Folgen und Reihen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt Definitionen, spezielle Arten wie arithmetische und geometrische Folgen sowie wichtige Eigenschaften und Bemerkungen zu endlichen und unendlichen Folgen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheDiese Klausurvorbereitung für die 12. Klasse behandelt zentrale Themen der analytischen Geometrie und Analysis, einschließlich der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen, der Bestimmung von Graphpunkten, Ableitungen und der Anwendung von Differenzierung. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Adrian
@rahgnaar_sjog
Die Ableitungsregeln und ihre Anwendung in der Differentialrechnung
Die Ableitungsregeln bilden das Fundament der Differentialrechnung und ermöglichen die effiziente Berechnung von Ableitungen verschiedener Funktionstypen. Diese Regeln sind essentiell für das Verständnis von Veränderungsraten und Steigungen in der Mathematik und finden... Mehr anzeigen
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Dieses Kapitel behandelt fortgeschrittene Ableitungsregeln, die für die Berechnung von Ableitungen komplexerer Funktionen unerlässlich sind. Zu diesen Regeln gehören die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.
Die Produktregel ermöglicht die Ableitung des Produkts zweier Funktionen. Sie ist besonders nützlich, wenn man mit zusammengesetzten Funktionen arbeitet.
Formel: (u(x) · v(x))' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Beispiel: Für f(x) = x√x gilt f'(x) = 1 · √x + x · = √x + x/(2√x)
Die Quotientenregel, obwohl nicht mehr im Lehrplan enthalten, ist dennoch ein nützliches Werkzeug für die Ableitung von Bruchfunktionen.
Formel: ' = / (v(x))^2
Beispiel: Für f(x) = / x gilt f'(x) = / x^2 = / x^2
Die Kettenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen. Sie ermöglicht die Ableitung von Funktionen, die ineinander geschachtelt sind.
Formel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Beispiel: Für f(x) = ^2022 gilt f'(x) = 2022 · ^2021 · 3
Highlight: Die Kettenregel ist besonders wichtig für die Ableitung komplexer Funktionen und findet häufig Anwendung in der höheren Mathematik und in den Naturwissenschaften.
Das Konzept der höheren Ableitungen erweitert die Anwendung der Ableitungsregeln. Die zweite Ableitung f''(x) einer Funktion f erhält man durch erneutes Ableiten der ersten Ableitung f'(x). Entsprechend können auch dritte, vierte und höhere Ableitungen berechnet werden.
Vocabulary: Differenzierbarkeit bezeichnet die Eigenschaft einer Funktion, an einer bestimmten Stelle oder in einem Intervall ableitbar zu sein.
Die Beherrschung dieser fortgeschrittenen Ableitungsregeln und das Verständnis der Differenzierbarkeit von Funktionen sind grundlegend für die Anwendung der Differentialrechnung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und der Naturwissenschaften. Sie ermöglichen die Analyse von Veränderungsraten, die Optimierung von Funktionen und die Modellierung komplexer Systeme.
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Die Ableitungsregeln bilden das Herzstück der Differentialrechnung und ermöglichen die systematische Berechnung von Ableitungen verschiedener Funktionstypen. Dieses Kapitel führt in die grundlegenden Ableitungsregeln ein und erläutert ihre Anwendung anhand von Beispielen.
Definition: Die Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung oder Veränderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion immer null ist. Dies lässt sich leicht verstehen, da eine Konstante keine Veränderung aufweist.
Beispiel: Für f(x) = k, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist, gilt f'(x) = 0.
Die Potenzregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln und findet häufig Anwendung. Sie ermöglicht die Ableitung von Funktionen mit Potenzen.
Formel: Für f(x) = x^r mit r ∈ ℚ gilt: f'(x) = r · x^
Beispiel: Die Ableitung von f(x) = x^4 ist f'(x) = 4x^3.
Die Summenregel erlaubt es, die Ableitung einer Summe von Funktionen zu berechnen, indem man die Ableitungen der einzelnen Funktionen addiert.
Formel: ' = f'(x) + g'(x)
Beispiel: Für f(x) = x^3 + 4x gilt f'(x) = 3x^2 + 4.
Die Faktorregel ist eine Erweiterung der Summenregel und besagt, dass man einen konstanten Faktor vor die Ableitung ziehen kann.
Formel: (c · f(x))' = c · f'(x), wobei c eine Konstante ist.
Beispiel: Die Ableitung von f(x) = 3x^4 ist f'(x) = 3 · 4x^3 = 12x^3.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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