Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der...
Mathe1.854 aufrufe·Aktualisiert 21. Juli 2026·6 SeitenGrundlagen Funktionen: Verschiebung, Streckung und Spiegelung
Maya@_maya_06
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Die Normalparabel und ihre Eigenschaften
Die Normalparabel mit der Gleichung f = x² ist die Mutter aller quadratischen Funktionen. Du erkennst sie sofort: Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt bei S(0|0) - dem Scheitelpunkt.
Die Parabel fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon an. Das bedeutet: Für x ≤ 0 ist sie streng monoton fallend, für x ≥ 0 streng monoton steigend.
Verschiebungen der Normalparabel funktionieren nach klaren Regeln: Bei g = x² + 2 wird jeder y-Wert um 2 nach oben verschoben. Bei g = ² wandert die ganze Parabel um 3 Einheiten nach rechts.
Merke dir: Bei ² geht's nach rechts, bei ² nach links - also genau umgekehrt zum Vorzeichen!
Für kombinierte Verschiebungen verwendest du die Form g = ² + ys, wobei S(xs|ys) der neue Scheitelpunkt ist. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du jede Form x² + bx + c in diese praktische Scheitelpunktsform umwandeln.
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Streckungen und Spiegelungen von Parabeln
Neben Verschiebungen kannst du Parabeln auch strecken, stauchen oder spiegeln. Bei g = 2x² wird jeder Funktionswert verdoppelt - die Parabel wird "schlanker". Bei g = 0,5x² wird sie "breiter".
Das Minuszeichen vor dem x² bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Aus g = -0,5x² entsteht eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel.
Die Scheitelpunktsform einer beliebigen quadratischen Funktion lautet: f = a² + ys. Der Parameter a bestimmt Streckung und Öffnungsrichtung, während xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
Tipp: Ist |a| > 1, wird die Parabel schmaler. Ist 0 < |a| < 1, wird sie breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten.
Um von der allgemeinen Form ax² + bx + c zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Faktor a aus und führst dann die quadratische Ergänzung durch. Dein GTR kann dir dabei helfen, das Ergebnis zu überprüfen.
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Scheitelpunktsform und systematische Transformationen
Die Scheitelpunktsform f = a² + ys ist dein Schlüssel zum Verständnis aller quadratischen Funktionen. Aus ihr liest du direkt ab: Scheitelpunkt S(xs|ys), Streckfaktor |a| und Öffnungsrichtung.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Leitkoeffizienten aus. Bei g = -2x² + 4x + 2 wird das zu g = -2. Dann ergänzt du quadratisch und erhältst g = -2² + 4.
Aus dieser Form erkennst du sofort: Streckung mit Faktor 2, Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 1 nach rechts und um 4 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|4).
Praxistipp: Nutze deinen GTR zur Kontrolle! Mit der Maximum/Minimum-Funktion findest du den Scheitelpunkt schnell und sicher.
Allgemeine Transformationsregeln gelten für alle Funktionen: y = a·f streckt vertikal, y = f + c verschiebt vertikal, y = f verschiebt horizontal, und y = -f spiegelt an der x-Achse.
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Systematik der Funktionstransformationen
Vertikale Transformationen sind intuitiv: Bei y = a·f mit a > 1 wird der Graph gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Bei y = f + c geht's um c Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0).
Horizontale Transformationen sind trickier: y = f verschiebt um c nach rechts, y = f um c nach links - also umgekehrt zum Vorzeichen! Bei y = f(a·x) wird horizontal gestaucht (a > 1) oder gestreckt (0 < a < 1).
Spiegelungen erkennst du am Minuszeichen: y = -f spiegelt an der x-Achse, y = f an der y-Achse. Der Schnittpunkt mit der gespiegelten Achse bleibt dabei erhalten.
Eselsbrücke: Bei horizontalen Verschiebungen denkst du "umgekehrt" - minus bedeutet rechts, plus bedeutet links!
Diese Transformationsregeln funktionieren für alle Funktionen, nicht nur für Parabeln. Du kannst sie auf Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder beliebige andere Kurven anwenden.
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Potenzfunktionen und Symmetrie
Potenzfunktionen f = xⁿ zeigen je nach Exponent unterschiedliche Eigenschaften. Bei geradem n (wie x², x⁴, x⁶) verlaufen alle Graphen durch die Punkte , (0|0) und (1|1), sind achsensymmetrisch zur y-Achse und öffnen sich nach oben.
Bei ungeradem n (wie x, x³, x⁵) verlaufen die Graphen durch , (0|0) und (1|1), sind punktsymmetrisch zum Ursprung und steigen durchgängig an. Ein wichtiger Unterschied: Sie erstrecken sich über alle vier Quadranten.
Symmetrie rechnerisch prüfen geht so: Für Achsensymmetrie muss f = f gelten, für Punktsymmetrie f = -f. Bei f = x² gilt: f = ² = x² = f ✓ Achsensymmetrie bestätigt.
Faustregel: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie.
Das Verhalten an den Rändern ist entscheidend: Bei geradem n streben beide Äste gegen +∞, bei ungeradem n geht der linke Ast gegen -∞ und der rechte gegen +∞.
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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
Hyperbeln entstehen aus Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f = 1/x oder f = 1/x². Diese Funktionen sind bei x = 0 nicht definiert und haben charakteristische Eigenschaften.
Bei f = 1/x (ungerader Exponent) verläuft der Graph durch die Quadranten I und III, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und durchgängig fallend. Die Punkte (1|1) und liegen immer auf dem Graphen.
Bei f = 1/x² (gerader Exponent) erstreckt sich der Graph über die Quadranten I und II, ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Punkte (1|1) und . Links von null steigt die Funktion, rechts davon fällt sie.
Wichtig: Beide Hyperbeln schmiegen sich für große |x| an die x-Achse und für x → 0 an die y-Achse an.
Transformationen funktionieren auch bei Hyperbeln: Aus f = 1/x² wird durch Streckung, Verschiebung nach rechts und oben die Funktion g = 0,5/² + 1. Der GTR hilft dir bei der Visualisierung und Kontrolle deiner Rechnungen.
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Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis hin zu Satellitenschüsseln. Die Normalparabel ist dabei dein Ausgangspunkt, um alle anderen Parabeln zu verstehen und zu zeichnen.
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Die Normalparabel und ihre Eigenschaften
Die Normalparabel mit der Gleichung f = x² ist die Mutter aller quadratischen Funktionen. Du erkennst sie sofort: Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt bei S(0|0) - dem Scheitelpunkt.
Die Parabel fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon an. Das bedeutet: Für x ≤ 0 ist sie streng monoton fallend, für x ≥ 0 streng monoton steigend.
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Neben Verschiebungen kannst du Parabeln auch strecken, stauchen oder spiegeln. Bei g = 2x² wird jeder Funktionswert verdoppelt - die Parabel wird "schlanker". Bei g = 0,5x² wird sie "breiter".
Das Minuszeichen vor dem x² bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Aus g = -0,5x² entsteht eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel.
Die Scheitelpunktsform einer beliebigen quadratischen Funktion lautet: f = a² + ys. Der Parameter a bestimmt Streckung und Öffnungsrichtung, während xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
Tipp: Ist |a| > 1, wird die Parabel schmaler. Ist 0 < |a| < 1, wird sie breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten.
Um von der allgemeinen Form ax² + bx + c zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Faktor a aus und führst dann die quadratische Ergänzung durch. Dein GTR kann dir dabei helfen, das Ergebnis zu überprüfen.
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Potenzfunktionen f = xⁿ zeigen je nach Exponent unterschiedliche Eigenschaften. Bei geradem n (wie x², x⁴, x⁶) verlaufen alle Graphen durch die Punkte , (0|0) und (1|1), sind achsensymmetrisch zur y-Achse und öffnen sich nach oben.
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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
Hyperbeln entstehen aus Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f = 1/x oder f = 1/x². Diese Funktionen sind bei x = 0 nicht definiert und haben charakteristische Eigenschaften.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin