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Mathe1.858Aktualisiert 22. Sept. 20266 Seiten

Grundlagen Funktionen: Verschiebung, Streckung und Spiegelung

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Maya@_maya_06
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Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis hin zu Satellitenschüsseln. Die Normalparabel ist dabei dein Ausgangspunkt, um alle anderen Parabeln zu verstehen und zu zeichnen.
Funktionen – Seite 1

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Die Normalparabel und ihre Eigenschaften

Die Normalparabel mit der Gleichung fxx = x² ist die Mutter aller quadratischen Funktionen. Du erkennst sie sofort: Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt bei S(0|0) - dem Scheitelpunkt.

Die Parabel fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon an. Das bedeutet: Für x ≤ 0 ist sie streng monoton fallend, für x ≥ 0 streng monoton steigend.

Verschiebungen der Normalparabel funktionieren nach klaren Regeln: Bei gxx = x² + 2 wird jeder y-Wert um 2 nach oben verschoben. Bei gxx = x−3x-3² wandert die ganze Parabel um 3 Einheiten nach rechts.

Merke dir: Bei x−3x-3² geht's nach rechts, bei x+3x+3² nach links - also genau umgekehrt zum Vorzeichen!

Für kombinierte Verschiebungen verwendest du die Form gxx = x−xsx-xs² + ys, wobei S(xs|ys) der neue Scheitelpunkt ist. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du jede Form x² + bx + c in diese praktische Scheitelpunktsform umwandeln.

Funktionen – Seite 2

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Streckungen und Spiegelungen von Parabeln

Neben Verschiebungen kannst du Parabeln auch strecken, stauchen oder spiegeln. Bei gxx = 2x² wird jeder Funktionswert verdoppelt - die Parabel wird "schlanker". Bei gxx = 0,5x² wird sie "breiter".

Das Minuszeichen vor dem x² bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Aus gxx = -0,5x² entsteht eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel.

Die Scheitelpunktsform einer beliebigen quadratischen Funktion lautet: fxx = ax−xsx-xs² + ys. Der Parameter a bestimmt Streckung und Öffnungsrichtung, während xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.

Tipp: Ist |a| > 1, wird die Parabel schmaler. Ist 0 < |a| < 1, wird sie breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten.

Um von der allgemeinen Form ax² + bx + c zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Faktor a aus und führst dann die quadratische Ergänzung durch. Dein GTR kann dir dabei helfen, das Ergebnis zu überprüfen.

Funktionen – Seite 3

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Scheitelpunktsform und systematische Transformationen

Die Scheitelpunktsform fxx = ax−xsx-xs² + ys ist dein Schlüssel zum Verständnis aller quadratischen Funktionen. Aus ihr liest du direkt ab: Scheitelpunkt S(xs|ys), Streckfaktor |a| und Öffnungsrichtung.

Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Leitkoeffizienten aus. Bei gxx = -2x² + 4x + 2 wird das zu gxx = -2x2−2x−1x² - 2x - 1. Dann ergänzt du quadratisch und erhältst gxx = -2x−1x-1² + 4.

Aus dieser Form erkennst du sofort: Streckung mit Faktor 2, Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 1 nach rechts und um 4 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|4).

Praxistipp: Nutze deinen GTR zur Kontrolle! Mit der Maximum/Minimum-Funktion findest du den Scheitelpunkt schnell und sicher.

Allgemeine Transformationsregeln gelten für alle Funktionen: y = a·fxx streckt vertikal, y = fxx + c verschiebt vertikal, y = fx−cx-c verschiebt horizontal, und y = -fxx spiegelt an der x-Achse.

Funktionen – Seite 4

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Systematik der Funktionstransformationen

Vertikale Transformationen sind intuitiv: Bei y = a·fxx mit a > 1 wird der Graph gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Bei y = fxx + c geht's um c Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0).

Horizontale Transformationen sind trickier: y = fx−cx-c verschiebt um c nach rechts, y = fx+cx+c um c nach links - also umgekehrt zum Vorzeichen! Bei y = f(a·x) wird horizontal gestaucht (a > 1) oder gestreckt (0 < a < 1).

Spiegelungen erkennst du am Minuszeichen: y = -fxx spiegelt an der x-Achse, y = f−x-x an der y-Achse. Der Schnittpunkt mit der gespiegelten Achse bleibt dabei erhalten.

Eselsbrücke: Bei horizontalen Verschiebungen denkst du "umgekehrt" - minus bedeutet rechts, plus bedeutet links!

Diese Transformationsregeln funktionieren für alle Funktionen, nicht nur für Parabeln. Du kannst sie auf Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder beliebige andere Kurven anwenden.

Funktionen – Seite 5

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Potenzfunktionen und Symmetrie

Potenzfunktionen fxx = xⁿ zeigen je nach Exponent unterschiedliche Eigenschaften. Bei geradem n (wie x², x⁴, x⁶) verlaufen alle Graphen durch die Punkte −1∣1-1|1, (0|0) und (1|1), sind achsensymmetrisch zur y-Achse und öffnen sich nach oben.

Bei ungeradem n (wie x, x³, x⁵) verlaufen die Graphen durch −1∣−1-1|-1, (0|0) und (1|1), sind punktsymmetrisch zum Ursprung und steigen durchgängig an. Ein wichtiger Unterschied: Sie erstrecken sich über alle vier Quadranten.

Symmetrie rechnerisch prüfen geht so: Für Achsensymmetrie muss f−x-x = fxx gelten, für Punktsymmetrie f−x-x = -fxx. Bei fxx = x² gilt: f−x-x = −x-x² = x² = fxx ✓ Achsensymmetrie bestätigt.

Faustregel: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie.

Das Verhalten an den Rändern ist entscheidend: Bei geradem n streben beide Äste gegen +∞, bei ungeradem n geht der linke Ast gegen -∞ und der rechte gegen +∞.

Funktionen – Seite 6

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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Hyperbeln entstehen aus Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie fxx = 1/x oder fxx = 1/x². Diese Funktionen sind bei x = 0 nicht definiert und haben charakteristische Eigenschaften.

Bei fxx = 1/x (ungerader Exponent) verläuft der Graph durch die Quadranten I und III, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und durchgängig fallend. Die Punkte (1|1) und −1∣−1-1|-1 liegen immer auf dem Graphen.

Bei fxx = 1/x² (gerader Exponent) erstreckt sich der Graph über die Quadranten I und II, ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Punkte (1|1) und −1∣1-1|1. Links von null steigt die Funktion, rechts davon fällt sie.

Wichtig: Beide Hyperbeln schmiegen sich für große |x| an die x-Achse und für x → 0 an die y-Achse an.

Transformationen funktionieren auch bei Hyperbeln: Aus fxx = 1/x² wird durch Streckung, Verschiebung nach rechts und oben die Funktion gxx = 0,5/x−2x-2² + 1. Der GTR hilft dir bei der Visualisierung und Kontrolle deiner Rechnungen.

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