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3. Dez. 2025
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Maya
@_maya_06
Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der... Mehr anzeigen
Die Normalparabel mit der Gleichung f(x) = x² ist die Mutter aller quadratischen Funktionen. Du erkennst sie sofort: Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt bei S(0|0) - dem Scheitelpunkt.
Die Parabel fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon an. Das bedeutet: Für x ≤ 0 ist sie streng monoton fallend, für x ≥ 0 streng monoton steigend.
Verschiebungen der Normalparabel funktionieren nach klaren Regeln: Bei g(x) = x² + 2 wird jeder y-Wert um 2 nach oben verschoben. Bei g(x) = ² wandert die ganze Parabel um 3 Einheiten nach rechts.
Merke dir: Bei ² geht's nach rechts, bei ² nach links - also genau umgekehrt zum Vorzeichen!
Für kombinierte Verschiebungen verwendest du die Form g(x) = ² + ys, wobei S(xs|ys) der neue Scheitelpunkt ist. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du jede Form x² + bx + c in diese praktische Scheitelpunktsform umwandeln.
Neben Verschiebungen kannst du Parabeln auch strecken, stauchen oder spiegeln. Bei g(x) = 2x² wird jeder Funktionswert verdoppelt - die Parabel wird "schlanker". Bei g(x) = 0,5x² wird sie "breiter".
Das Minuszeichen vor dem x² bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Aus g(x) = -0,5x² entsteht eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel.
Die Scheitelpunktsform einer beliebigen quadratischen Funktion lautet: f(x) = a² + ys. Der Parameter a bestimmt Streckung und Öffnungsrichtung, während xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
Tipp: Ist |a| > 1, wird die Parabel schmaler. Ist 0 < |a| < 1, wird sie breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten.
Um von der allgemeinen Form ax² + bx + c zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Faktor a aus und führst dann die quadratische Ergänzung durch. Dein GTR kann dir dabei helfen, das Ergebnis zu überprüfen.
Die Scheitelpunktsform f(x) = a² + ys ist dein Schlüssel zum Verständnis aller quadratischen Funktionen. Aus ihr liest du direkt ab: Scheitelpunkt S(xs|ys), Streckfaktor |a| und Öffnungsrichtung.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Leitkoeffizienten aus. Bei g(x) = -2x² + 4x + 2 wird das zu g(x) = -2. Dann ergänzt du quadratisch und erhältst g(x) = -2² + 4.
Aus dieser Form erkennst du sofort: Streckung mit Faktor 2, Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 1 nach rechts und um 4 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|4).
Praxistipp: Nutze deinen GTR zur Kontrolle! Mit der Maximum/Minimum-Funktion findest du den Scheitelpunkt schnell und sicher.
Allgemeine Transformationsregeln gelten für alle Funktionen: y = a·f(x) streckt vertikal, y = f(x) + c verschiebt vertikal, y = f verschiebt horizontal, und y = -f(x) spiegelt an der x-Achse.
Vertikale Transformationen sind intuitiv: Bei y = a·f(x) mit a > 1 wird der Graph gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Bei y = f(x) + c geht's um c Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0).
Horizontale Transformationen sind trickier: y = f verschiebt um c nach rechts, y = f um c nach links - also umgekehrt zum Vorzeichen! Bei y = f(a·x) wird horizontal gestaucht (a > 1) oder gestreckt (0 < a < 1).
Spiegelungen erkennst du am Minuszeichen: y = -f(x) spiegelt an der x-Achse, y = f an der y-Achse. Der Schnittpunkt mit der gespiegelten Achse bleibt dabei erhalten.
Eselsbrücke: Bei horizontalen Verschiebungen denkst du "umgekehrt" - minus bedeutet rechts, plus bedeutet links!
Diese Transformationsregeln funktionieren für alle Funktionen, nicht nur für Parabeln. Du kannst sie auf Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder beliebige andere Kurven anwenden.
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ zeigen je nach Exponent unterschiedliche Eigenschaften. Bei geradem n (wie x², x⁴, x⁶) verlaufen alle Graphen durch die Punkte (-1|1), (0|0) und (1|1), sind achsensymmetrisch zur y-Achse und öffnen sich nach oben.
Bei ungeradem n (wie x, x³, x⁵) verlaufen die Graphen durch (-1|-1), (0|0) und (1|1), sind punktsymmetrisch zum Ursprung und steigen durchgängig an. Ein wichtiger Unterschied: Sie erstrecken sich über alle vier Quadranten.
Symmetrie rechnerisch prüfen geht so: Für Achsensymmetrie muss f = f(x) gelten, für Punktsymmetrie f = -f(x). Bei f(x) = x² gilt: f = ² = x² = f(x) ✓ Achsensymmetrie bestätigt.
Faustregel: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie.
Das Verhalten an den Rändern ist entscheidend: Bei geradem n streben beide Äste gegen +∞, bei ungeradem n geht der linke Ast gegen -∞ und der rechte gegen +∞.
Hyperbeln entstehen aus Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f(x) = 1/x oder f(x) = 1/x². Diese Funktionen sind bei x = 0 nicht definiert und haben charakteristische Eigenschaften.
Bei f(x) = 1/x (ungerader Exponent) verläuft der Graph durch die Quadranten I und III, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und durchgängig fallend. Die Punkte (1|1) und (-1|-1) liegen immer auf dem Graphen.
Bei f(x) = 1/x² (gerader Exponent) erstreckt sich der Graph über die Quadranten I und II, ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Punkte (1|1) und (-1|1). Links von null steigt die Funktion, rechts davon fällt sie.
Wichtig: Beide Hyperbeln schmiegen sich für große |x| an die x-Achse und für x → 0 an die y-Achse an.
Transformationen funktionieren auch bei Hyperbeln: Aus f(x) = 1/x² wird durch Streckung, Verschiebung nach rechts und oben die Funktion g(x) = 0,5/² + 1. Der GTR hilft dir bei der Visualisierung und Kontrolle deiner Rechnungen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Maya
@_maya_06
Quadratische Funktionen sind überall um dich herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis hin zu Satellitenschüsseln. Die Normalparabel ist dabei dein Ausgangspunkt, um alle anderen Parabeln zu verstehen und zu zeichnen.
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Die Normalparabel mit der Gleichung f(x) = x² ist die Mutter aller quadratischen Funktionen. Du erkennst sie sofort: Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt bei S(0|0) - dem Scheitelpunkt.
Die Parabel fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon an. Das bedeutet: Für x ≤ 0 ist sie streng monoton fallend, für x ≥ 0 streng monoton steigend.
Verschiebungen der Normalparabel funktionieren nach klaren Regeln: Bei g(x) = x² + 2 wird jeder y-Wert um 2 nach oben verschoben. Bei g(x) = ² wandert die ganze Parabel um 3 Einheiten nach rechts.
Merke dir: Bei ² geht's nach rechts, bei ² nach links - also genau umgekehrt zum Vorzeichen!
Für kombinierte Verschiebungen verwendest du die Form g(x) = ² + ys, wobei S(xs|ys) der neue Scheitelpunkt ist. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du jede Form x² + bx + c in diese praktische Scheitelpunktsform umwandeln.
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Das Minuszeichen vor dem x² bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Aus g(x) = -0,5x² entsteht eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel.
Die Scheitelpunktsform einer beliebigen quadratischen Funktion lautet: f(x) = a² + ys. Der Parameter a bestimmt Streckung und Öffnungsrichtung, während xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
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Die Scheitelpunktsform f(x) = a² + ys ist dein Schlüssel zum Verständnis aller quadratischen Funktionen. Aus ihr liest du direkt ab: Scheitelpunkt S(xs|ys), Streckfaktor |a| und Öffnungsrichtung.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktsform zu gelangen, klammerst du zuerst den Leitkoeffizienten aus. Bei g(x) = -2x² + 4x + 2 wird das zu g(x) = -2. Dann ergänzt du quadratisch und erhältst g(x) = -2² + 4.
Aus dieser Form erkennst du sofort: Streckung mit Faktor 2, Spiegelung an der x-Achse, Verschiebung um 1 nach rechts und um 4 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|4).
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Vertikale Transformationen sind intuitiv: Bei y = a·f(x) mit a > 1 wird der Graph gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht. Bei y = f(x) + c geht's um c Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0).
Horizontale Transformationen sind trickier: y = f verschiebt um c nach rechts, y = f um c nach links - also umgekehrt zum Vorzeichen! Bei y = f(a·x) wird horizontal gestaucht (a > 1) oder gestreckt (0 < a < 1).
Spiegelungen erkennst du am Minuszeichen: y = -f(x) spiegelt an der x-Achse, y = f an der y-Achse. Der Schnittpunkt mit der gespiegelten Achse bleibt dabei erhalten.
Eselsbrücke: Bei horizontalen Verschiebungen denkst du "umgekehrt" - minus bedeutet rechts, plus bedeutet links!
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Potenzfunktionen f(x) = xⁿ zeigen je nach Exponent unterschiedliche Eigenschaften. Bei geradem n (wie x², x⁴, x⁶) verlaufen alle Graphen durch die Punkte (-1|1), (0|0) und (1|1), sind achsensymmetrisch zur y-Achse und öffnen sich nach oben.
Bei ungeradem n (wie x, x³, x⁵) verlaufen die Graphen durch (-1|-1), (0|0) und (1|1), sind punktsymmetrisch zum Ursprung und steigen durchgängig an. Ein wichtiger Unterschied: Sie erstrecken sich über alle vier Quadranten.
Symmetrie rechnerisch prüfen geht so: Für Achsensymmetrie muss f = f(x) gelten, für Punktsymmetrie f = -f(x). Bei f(x) = x² gilt: f = ² = x² = f(x) ✓ Achsensymmetrie bestätigt.
Faustregel: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie.
Das Verhalten an den Rändern ist entscheidend: Bei geradem n streben beide Äste gegen +∞, bei ungeradem n geht der linke Ast gegen -∞ und der rechte gegen +∞.
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Hyperbeln entstehen aus Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie f(x) = 1/x oder f(x) = 1/x². Diese Funktionen sind bei x = 0 nicht definiert und haben charakteristische Eigenschaften.
Bei f(x) = 1/x (ungerader Exponent) verläuft der Graph durch die Quadranten I und III, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und durchgängig fallend. Die Punkte (1|1) und (-1|-1) liegen immer auf dem Graphen.
Bei f(x) = 1/x² (gerader Exponent) erstreckt sich der Graph über die Quadranten I und II, ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Punkte (1|1) und (-1|1). Links von null steigt die Funktion, rechts davon fällt sie.
Wichtig: Beide Hyperbeln schmiegen sich für große |x| an die x-Achse und für x → 0 an die y-Achse an.
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MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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