Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften – Einfache Erläuterung
S
Sila
@silvaboobs
Du bereitest dich auf deine zweite Mathe-Klausur vor und brauchst... Mehr anzeigen
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Potenzfunktionen - Die Grundlagen
Potenzfunktionen haben die Form f(x)=axn und ihr Verhalten hängt komplett vom Exponenten ab. Das ist eigentlich gar nicht so kompliziert, wie es aussieht!
Bei geraden positiven Exponentenwie $x^2, x^4$ ist deine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie verläuft nur im I. und II. Quadranten, weil alle y-Werte positiv sind. Stell dir eine klassische Parabel vor - das ist das typische Bild.
Ungerade positive Exponentenwie $x^3, x^5$ sorgen für Punktsymmetrie zum Ursprung. Hier durchläuft deine Funktion sowohl positive als auch negative y-Werte und verläuft durch den I. und III. Quadranten.
Bei negativen Exponenten wird's interessant: Die Funktionen nähern sich asymptotisch den Achsen an, berühren sie aber nie. Die Symmetrie-Regeln bleiben dabei gleich - gerade Exponenten bleiben achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.
Funktionsparameter verstehen
Jede Potenz- und Wurzelfunktion lässt sich durch verschiedene Parameter verändern. Das System ist immer gleich und super logisch!
Der Streckfaktor a bestimmt, ob deine Funktion gestreckt oder gestaucht wird. Bei a>1 wird gestreckt, bei a<1 gestaucht. Ist a<0, kommt noch eine Spiegelung an der x-Achse dazu.
Die Verschiebung in x-Richtung erkennst du an den Klammern: Bei f(x)=(x+2)3 verschiebt sich alles um 2 nach links. Das Vorzeichen dreht sich hier immer um! Die y-Verschiebung funktioniert dagegen ganz normal - plus bedeutet nach oben, minus nach unten.
Praxistipp: Der Scheitelpunkt ergibt sich aus den Verschiebungen. Bei f(x)=3(x+2)2−2 liegt er bei (−2∣−2).
Wurzelfunktionen folgen denselben Regeln. Die Grundfunktion f(x)=x startet im Ursprung und steigt langsam an.
Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen sind Polynome wie f(x)=x3−6x2+24x−16. Der Grad des Polynoms entspricht der höchsten Potenz - hier ist es Grad 3.
Die Symmetrie erkennst du sofort: Kommen nur gerade Potenzen vor, hast du Achsensymmetrie. Bei nur ungeraden Potenzen entsteht Punktsymmetrie zum Ursprung. Sind gemischte Potenzen da, gibt's keine Symmetrie.
Das Verhalten für x→±∞ bestimmt immer der Term mit der höchsten Potenz. Bei f(x)=0,5x2−2x dominiert für große x-Werte der 0,5x2-Term. Deshalb geht die Funktion sowohl für x→∞ als auch für x→−∞ gegen +∞.
Klausur-Trick: Setze einfach sehr große Zahlen wie 100 oder -100 ein, dann siehst du sofort, wohin die Funktion läuft!
Monotonie beschreibt, ob deine Funktion steigt oder fällt. Steigend bedeutet: größere x-Werte führen zu größeren y-Werten.
Nullstellen und y-Achsenabschnitt finden
Den y-Achsenabschnitt findest du kinderleicht: Setze einfach x=0 in deine Funktion ein. Bei f(x)=0,5x2−2x ergibt f(0)=0, also liegt der Schnittpunkt bei (0∣0).
Für Nullstellen setzt du f(x)=0 und wendest dann die passende Lösungsmethode an. Die p-q-Formel nutzt du bei quadratischen Gleichungen: x1,2=−2p±4p2−q.
Bei biquadratischen Funktionennur gerade Potenzen wie $x^4, x^2$ hilft dir die Substitution. Setze z=x2, löse die entstandene quadratische Gleichung und substitutiere zurück.
Erfolgsgarantie: Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund! Bei (x−2)(3x+6)=0 muss einer der Faktoren null sein.
Das Ausklammern funktioniert super, wenn alle Terme ein gemeinsames x haben. Aus x3−4x2+x=0 wird x(x2−4x+1)=0. Dann ist entweder x=0 oder du löst die Klammer mit der p-q-Formel.
Steigung verstehen - mittlere und lokale Steigung
Die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten berechnest du mit dem Differenzenquotienten: x2−x1f(x2)−f(x1). Das ist einfach die Steigung der Geraden zwischen beiden Punkten.
Die lokale Steigung an einem bestimmten Punkt findest du über die Tangente. Zeichne eine Tangente an den gewünschten Punkt, verlängere sie und miss die Steigung mit einem Steigungsdreieck ab.
Der Ableitungsgraph zeigt dir auf einen Blick das Steigungsverhalten deiner ursprünglichen Funktion. Ist die Ableitung positiv, steigt deine Funktion. Ist sie negativ, fällt die Funktion.
Visualisierungstipp: Wo die Ableitung null wird, hat deine ursprüngliche Funktion Hoch- oder Tiefpunkte!
Wendepunkte der ursprünglichen Funktion entsprechen Hoch- und Tiefpunkten im Ableitungsgraph. Das Zusammenspiel zwischen Funktion und Ableitung zu verstehen, macht dich in der Klausur richtig stark.
Wir dachten, du würdest nie fragen...
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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4.9/5
App Store
4.8/5
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften – Einfache Erläuterung
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Sila
@silvaboobs
Du bereitest dich auf deine zweite Mathe-Klausur vor und brauchst einen schnellen Überblick über Funktionstypen? Perfekt - hier findest du alles Wichtige zu Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften. Diese Zusammenfassung hilft dir dabei, die verschiedenen Funktionsarten zu... Mehr anzeigen
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Potenzfunktionen haben die Form f(x)=axn und ihr Verhalten hängt komplett vom Exponenten ab. Das ist eigentlich gar nicht so kompliziert, wie es aussieht!
Bei geraden positiven Exponentenwie $x^2, x^4$ ist deine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie verläuft nur im I. und II. Quadranten, weil alle y-Werte positiv sind. Stell dir eine klassische Parabel vor - das ist das typische Bild.
Ungerade positive Exponentenwie $x^3, x^5$ sorgen für Punktsymmetrie zum Ursprung. Hier durchläuft deine Funktion sowohl positive als auch negative y-Werte und verläuft durch den I. und III. Quadranten.
Bei negativen Exponenten wird's interessant: Die Funktionen nähern sich asymptotisch den Achsen an, berühren sie aber nie. Die Symmetrie-Regeln bleiben dabei gleich - gerade Exponenten bleiben achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.
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Jede Potenz- und Wurzelfunktion lässt sich durch verschiedene Parameter verändern. Das System ist immer gleich und super logisch!
Der Streckfaktor a bestimmt, ob deine Funktion gestreckt oder gestaucht wird. Bei a>1 wird gestreckt, bei a<1 gestaucht. Ist a<0, kommt noch eine Spiegelung an der x-Achse dazu.
Die Verschiebung in x-Richtung erkennst du an den Klammern: Bei f(x)=(x+2)3 verschiebt sich alles um 2 nach links. Das Vorzeichen dreht sich hier immer um! Die y-Verschiebung funktioniert dagegen ganz normal - plus bedeutet nach oben, minus nach unten.
Praxistipp: Der Scheitelpunkt ergibt sich aus den Verschiebungen. Bei f(x)=3(x+2)2−2 liegt er bei (−2∣−2).
Wurzelfunktionen folgen denselben Regeln. Die Grundfunktion f(x)=x startet im Ursprung und steigt langsam an.
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Ganzrationale Funktionen sind Polynome wie f(x)=x3−6x2+24x−16. Der Grad des Polynoms entspricht der höchsten Potenz - hier ist es Grad 3.
Die Symmetrie erkennst du sofort: Kommen nur gerade Potenzen vor, hast du Achsensymmetrie. Bei nur ungeraden Potenzen entsteht Punktsymmetrie zum Ursprung. Sind gemischte Potenzen da, gibt's keine Symmetrie.
Das Verhalten für x→±∞ bestimmt immer der Term mit der höchsten Potenz. Bei f(x)=0,5x2−2x dominiert für große x-Werte der 0,5x2-Term. Deshalb geht die Funktion sowohl für x→∞ als auch für x→−∞ gegen +∞.
Klausur-Trick: Setze einfach sehr große Zahlen wie 100 oder -100 ein, dann siehst du sofort, wohin die Funktion läuft!
Monotonie beschreibt, ob deine Funktion steigt oder fällt. Steigend bedeutet: größere x-Werte führen zu größeren y-Werten.
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Den y-Achsenabschnitt findest du kinderleicht: Setze einfach x=0 in deine Funktion ein. Bei f(x)=0,5x2−2x ergibt f(0)=0, also liegt der Schnittpunkt bei (0∣0).
Für Nullstellen setzt du f(x)=0 und wendest dann die passende Lösungsmethode an. Die p-q-Formel nutzt du bei quadratischen Gleichungen: x1,2=−2p±4p2−q.
Bei biquadratischen Funktionennur gerade Potenzen wie $x^4, x^2$ hilft dir die Substitution. Setze z=x2, löse die entstandene quadratische Gleichung und substitutiere zurück.
Erfolgsgarantie: Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund! Bei (x−2)(3x+6)=0 muss einer der Faktoren null sein.
Das Ausklammern funktioniert super, wenn alle Terme ein gemeinsames x haben. Aus x3−4x2+x=0 wird x(x2−4x+1)=0. Dann ist entweder x=0 oder du löst die Klammer mit der p-q-Formel.
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Die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten berechnest du mit dem Differenzenquotienten: x2−x1f(x2)−f(x1). Das ist einfach die Steigung der Geraden zwischen beiden Punkten.
Die lokale Steigung an einem bestimmten Punkt findest du über die Tangente. Zeichne eine Tangente an den gewünschten Punkt, verlängere sie und miss die Steigung mit einem Steigungsdreieck ab.
Der Ableitungsgraph zeigt dir auf einen Blick das Steigungsverhalten deiner ursprünglichen Funktion. Ist die Ableitung positiv, steigt deine Funktion. Ist sie negativ, fällt die Funktion.
Visualisierungstipp: Wo die Ableitung null wird, hat deine ursprüngliche Funktion Hoch- oder Tiefpunkte!
Wendepunkte der ursprünglichen Funktion entsprechen Hoch- und Tiefpunkten im Ableitungsgraph. Das Zusammenspiel zwischen Funktion und Ableitung zu verstehen, macht dich in der Klausur richtig stark.
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App Store
4.8/5
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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