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9. Dez. 2025
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Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von Brückenbögen... Mehr anzeigen
Willkommen zu einem der wichtigsten Themen der Oberstufe! Ganzrationale Funktionen sind Funktionen mit Potenzen von x, wie zum Beispiel f(x) = 2x³ + 5x² - 3x + 1.
Diese Funktionen beschreiben unglaublich viele Dinge in der realen Welt - von Flugbahnen bis hin zu Wirtschaftsmodellen. Das Beste daran: Mit ein paar cleveren Techniken kannst du sie komplett durchschauen.
💡 Merke dir: Ganzrationale Funktionen sind wie Puzzles - einmal verstanden, passen alle Teile perfekt zusammen!
Stell dir vor, du könntest die Steigung einer Kurve an jedem beliebigen Punkt sofort berechnen - genau das macht die Ableitung! Die Potenzregel ist dabei dein bester Freund: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n·xⁿ⁻¹.
So funktioniert's: Den Exponenten nach vorne ziehen, mit dem Faktor multiplizieren, dann den Exponenten um 1 verringern. Bei f(x) = 3x⁵ + 4x² wird f'(x) = 15x⁴ + 8x. Konstanten verschwinden komplett - sie ergeben null!
Mit der Ableitungsfunktion kannst du sogar Graphen zeichnen: Wo f(x) Extremstellen hat, hat f'(x) Nullstellen. Steigt f(x), ist f'(x) positiv - fällt f(x), ist f'(x) negativ.
💡 Tipp: Übe die Potenzregel bis sie automatisch sitzt - sie ist die Basis für alles Weitere!
Monotonie verrät dir, ob eine Funktion durchgehend steigt oder fällt. Streng monoton bedeutet: keine Pausen, keine Plateaus - nur stur in eine Richtung. Bei "nur" monoton darf die Funktion auch mal Sattelpunkte haben .
Die Symmetrie erkennst du sofort an den Exponenten! Nur gerade Exponenten (x², x⁴, x⁶...)? Dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, und es gilt f(x) = f.
Nur ungerade Exponenten (x¹, x³, x⁵...)? Punktsymmetrisch zum Ursprung, mit -f(x) = f. Ein Beispiel: f(x) = 2x⁵ - x³ + 7x ist punktsymmetrisch, weil alle Exponenten ungerade sind.
💡 Merkregel: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie!
Nullstellen sind die x-Werte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Je nach Aussehen deiner Gleichung wählst du das passende Verfahren - wie den richtigen Schlüssel für verschiedene Türen!
Der Satz vom Nullprodukt funktioniert bei Produkten: · = 0 führt zu x₁ = -4 und x₂ = 5. Ausklammern hilft, wenn jeder Term mindestens ein x enthält.
Bei Gleichungen wie x⁴ - 24x² + 25 = 0 rettet dich die Substitution: Setze z = x², löse die entstehende quadratische Gleichung mit der p-q-Formel, und rechne zurück. Die p-q-Formel lautet: x₁,₂ = -p/2 ± √.
💡 Strategie: Schau dir die Gleichung genau an - meist ist sofort klar, welches Verfahren am besten passt!
Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion - dort wo sie "umkehrt". Wendepunkte zeigen, wo sich das Krümmungsverhalten ändert, von "Linkskurve" zu "Rechtskurve" oder umgekehrt.
Die notwendige Bedingung für Extremstellen: f'(x) = 0. Die hinreichende Bedingung unterscheidet: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt. Bei f''(x) = 0 hast du einen Wendepunkt.
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit Steigung null - dort "sitzt" die Kurve waagerecht, ohne wirklich hoch oder runter zu gehen. Die Wendetangente ist die Tangente am Wendepunkt mit der Gleichung y = mx + b.
💡 Eselsbrücke: Erste Ableitung null = Extremstelle, zweite Ableitung null = Wendestelle!
Das Berechnen von Extremstellen läuft immer nach dem gleichen Schema ab - wie ein Rezept, das garantiert funktioniert! Zuerst bildest du f'(x), dann setzt du f'(x) = 0 und löst nach x auf.
Bei f(x) = ⅓x³ + ½x² - 2x ergibt sich f'(x) = x² + x - 2. Mit der p-q-Formel findest du x₁ = 1 und x₂ = -2. Jetzt brauchst du die hinreichende Bedingung: f''(x) = 2x + 1.
Einsetzen zeigt: f''(1) = 3 > 0, also Tiefpunkt bei x = 1. Und f''(-2) = -3 < 0, also Hochpunkt bei x = -2. Alternativ kannst du das Vorzeichenwechselkriterium verwenden: von minus nach plus = Tiefpunkt, von plus nach minus = Hochpunkt.
💡 Kontrolltrick: Zeichne dir eine kleine Skizze - so siehst du sofort, ob deine Rechnung stimmt!
Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt - dort ändert die Kurve ihr Krümmungsverhalten. Die x-Koordinate setzt du dann in f(x) ein, um die y-Koordinate zu bekommen.
Bei f(x) = 3x³ - 1,5x² + 1 ergibt f''(x) = 18x - 3. Aus f''(x) = 0 folgt x = 1/6. Einsetzen in f(x) liefert den Wendepunkt W.
Die Wendetangente hat die Form y = mx + b. Die Steigung m bekommst du durch f'. Mit dem bekannten Wendepunkt löst du dann nach b auf. So erhältst du die komplette Tangentengleichung am Wendepunkt.
💡 Wichtig: Die Wendetangente berührt den Graphen genau im Wendepunkt und zeigt die momentane Änderungsrichtung!
Manchmal reicht es nicht, nur die Extremstellen zu kennen - du musst auch die Ränder deines Definitionsbereichs checken! Das nennt sich Randwertbetrachtung und ist entscheidend für globale Extrema.
Bei einer Temperaturfunktion f(t) für 0 ≤ t ≤ 24 findest du vielleicht lokale Extremstellen bei t = 6 und t = 18. Aber was ist bei t = 0 und t = 24? Diese Randwerte musst du ebenfalls in f(t) einsetzen und mit deinen lokalen Extremwerten vergleichen.
Das globale Maximum ist der höchste Wert von allen (lokale Extrema und Randwerte), das globale Minimum entsprechend der niedrigste. So findest du die wirklich wichtigsten Punkte deiner Funktion im gegebenen Bereich.
💡 Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben sind oft die globalen Extrema gesucht - vergiss die Randwerte nie!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Sudenaz Ocak
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von Brückenbögen bis zu Gewinnkurven von Unternehmen. Diese Zusammenfassung erklärt dir alles Wichtige über Ableitungen, Monotonie, Symmetrie und das Berechnen von besonderen Punkten - perfekt für deine nächste Klausur!
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So funktioniert's: Den Exponenten nach vorne ziehen, mit dem Faktor multiplizieren, dann den Exponenten um 1 verringern. Bei f(x) = 3x⁵ + 4x² wird f'(x) = 15x⁴ + 8x. Konstanten verschwinden komplett - sie ergeben null!
Mit der Ableitungsfunktion kannst du sogar Graphen zeichnen: Wo f(x) Extremstellen hat, hat f'(x) Nullstellen. Steigt f(x), ist f'(x) positiv - fällt f(x), ist f'(x) negativ.
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Nur ungerade Exponenten (x¹, x³, x⁵...)? Punktsymmetrisch zum Ursprung, mit -f(x) = f. Ein Beispiel: f(x) = 2x⁵ - x³ + 7x ist punktsymmetrisch, weil alle Exponenten ungerade sind.
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Einsetzen zeigt: f''(1) = 3 > 0, also Tiefpunkt bei x = 1. Und f''(-2) = -3 < 0, also Hochpunkt bei x = -2. Alternativ kannst du das Vorzeichenwechselkriterium verwenden: von minus nach plus = Tiefpunkt, von plus nach minus = Hochpunkt.
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Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt - dort ändert die Kurve ihr Krümmungsverhalten. Die x-Koordinate setzt du dann in f(x) ein, um die y-Koordinate zu bekommen.
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Die Wendetangente hat die Form y = mx + b. Die Steigung m bekommst du durch f'. Mit dem bekannten Wendepunkt löst du dann nach b auf. So erhältst du die komplette Tangentengleichung am Wendepunkt.
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Bei einer Temperaturfunktion f(t) für 0 ≤ t ≤ 24 findest du vielleicht lokale Extremstellen bei t = 6 und t = 18. Aber was ist bei t = 0 und t = 24? Diese Randwerte musst du ebenfalls in f(t) einsetzen und mit deinen lokalen Extremwerten vergleichen.
Das globale Maximum ist der höchste Wert von allen (lokale Extrema und Randwerte), das globale Minimum entsprechend der niedrigste. So findest du die wirklich wichtigsten Punkte deiner Funktion im gegebenen Bereich.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktform, faktorisierter Form und der PQ-Formel zur Nullstellenberechnung. Lernen Sie, wie man Schnittpunkte von Graphen bestimmt und die Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsverlauf analysiert. Ideal für die Klausurvorbereitung in der Mathematik.
MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Wendepunkten, Extrempunkten und der Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf Matheprüfungen, werden wichtige Konzepte wie Symmetrie, Steigung und charakteristische Punkte detailliert erklärt. Enthält auch praktische Anwendungsbeispiele und Aufgaben zur Vertiefung des Verständnisses.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich Symmetrie, Transformationen, Nullstellen, Krümmungsverhalten, Tangenten, Ableitungen sowie Wendepunkte und Sattelpunkte. Zudem werden Extremwertaufgaben und die Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen detailliert erklärt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in Mathematik vertiefen möchten.
MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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