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338
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Mia
17.12.2025
Mathe
Ganzrationale Funktionen - Lernzettel
12.619
•
17. Dez. 2025
•
Mia
@mia.1808
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Addition von Potenzfunktionen entstehen... Mehr anzeigen
Du stehst vor deiner 2. Klausur zu ganzrationalen Funktionen? Perfekt - hier siehst du auf einen Blick, was drankommen wird.
Die wichtigsten Themen sind: Funktionsterme zuordnen, Verschiebungen beschreiben (auch Transformationen genannt), das Globalverhalten verstehen und Nullstellen berechnen. Außerdem brauchst du die binomischen Formeln - die sind dein Werkzeug für viele Aufgaben.
Bei den Nullstellen gibt es drei Hauptmethoden: ablesen vom Graphen, ausklammern mit dem Nullproduktsatz, und die Substitution für kompliziertere Funktionen.
💡 Tipp: Lerne die binomischen Formeln auswendig - sie sparen dir in der Klausur richtig viel Zeit!
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition von Potenzfunktionen - zum Beispiel f(x) = 5x⁵ - 3x⁴ + 2x³ + x² - ⅓x + 1,2. Die allgemeine Form ist f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀.
Bei Symmetrieeigenschaften musst du nur auf die Exponenten schauen. Sind alle Exponenten gerade (wie x⁴, x², x⁰), dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sind alle ungerade (wie x³, x¹), dann ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiele: g(x) = x⁴ + 3x² + 7 ist achsensymmetrisch, weil nur gerade Exponenten vorkommen. h(x) = x³ - 3x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil nur ungerade Exponenten da sind.
💡 Merkregel: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch!
Bei Funktionen zuordnen schaust du dir den höchsten Exponenten (Grad) und das Vorzeichen an. Der y-Achsenabschnitt ist der Wert ohne x (das Absolutglied).
Transformationen verschieben Funktionen im Koordinatensystem. Die Grundform ist f(x) = a· + d. Hier bewirkt Parameter c eine Verschiebung in x-Richtung: Positive Werte verschieben nach rechts, negative nach links (Achtung: Vorzeichen in der Klammer wird gewechselt!).
Parameter d verschiebt in y-Richtung: Positiv bedeutet nach oben, negativ nach unten. Beispiel: h(x) = ³ - 40 wird um 2,5 Einheiten nach rechts und 40 Einheiten nach unten verschoben.
💡 Eselsbrücke: Bei geht's nach rechts zu +2, bei nach links zu -2!
Parameter a steuert Streckung und Stauchung der Funktion. Bei |a| > 1 wird gestreckt, bei 0 < |a| < 1 wird gestaucht. Negative a-Werte spiegeln zusätzlich an der x-Achse.
Das Globalverhalten beschreibt, wie sich der Graph an den Rändern verhält. Du schaust dir nur den höchsten Term an: Bei f(x) = 3x³ - 9x² - 120x + 5 bestimmt 3x³ das Verhalten für x → ∞ und x → -∞.
Die Reihenfolge bei Transformationen ist wichtig: Erst Streckung/Stauchung durch Parameter a, dann Verschiebungen durch c und d. Die allgemeine Form ist f(x) = a·f + d.
💡 Merkhilfe: Für das Globalverhalten interessiert dich nur der Term mit der höchsten Potenz - der Rest wird unwichtig!
Das Globalverhalten zeigt dir, wie sich deine Funktion "am Ende" verhält - also was passiert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Du schaust dir einfach nur den höchsten Term an und ignorierst den Rest komplett.
Bei f(x) = 3x³ - 9x² - 120x + 5 bestimmt nur 3x³ das Globalverhalten. Für x → ∞ geht f(x) → ∞ (nach oben), für x → -∞ geht f(x) → -∞ (nach unten).
Das liegt daran, dass bei sehr großen x-Werten der höchste Term alle anderen "überstimmt". Die anderen Terme werden im Vergleich winzig klein.
💡 Faustregel: Nur der höchste Term zählt - bei x³ bestimmt das Vorzeichen, ob's links und rechts hoch oder runter geht!
Die binomischen Formeln sind absolute Grundausstattung für ganzrationale Funktionen. Du brauchst sie ständig zum Vereinfachen und Nullstellen berechnen.
Erste binomische Formel: ² = a² + 2ab + b². Zweite binomische Formel: ² = a² - 2ab + b². Dritte binomische Formel: = a² - b².
Die dritte Formel ist besonders praktisch: Sie verwandelt ein Produkt in eine Differenz von Quadraten. Beispiel: = x² - 9. Das macht viele Rechnungen viel einfacher!
💡 Lern-Tipp: Übe die Formeln rückwärts! Wenn du x² - 9 siehst, erkennst du sofort .
Nullstellen findest du mit drei Hauptmethoden. Beim Ausklammern ziehst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer: 2x³ - 4x² - 6x = x. Dann nutzt du den Nullproduktsatz: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bei faktorisierten Funktionen wie m(x) = a² liest du die Nullstellen direkt ab: x = 3 und x = -7 (doppelte Nullstelle wegen dem Quadrat).
Die maximale Anzahl der Nullstellen entspricht dem höchsten Exponenten: x³-Funktionen haben maximal 3 Nullstellen, x⁵-Funktionen maximal 5.
💡 Wichtig: Doppelte Nullstellen berühren nur die x-Achse, durchstoßen sie aber nicht!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Mia
@mia.1808
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Addition von Potenzfunktionen entstehen - sie kommen in fast jeder Mathe-Klausur vor! Hier lernst du alles Wichtige: von der Grundform bis zu Nullstellenberechnungen.
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Du stehst vor deiner 2. Klausur zu ganzrationalen Funktionen? Perfekt - hier siehst du auf einen Blick, was drankommen wird.
Die wichtigsten Themen sind: Funktionsterme zuordnen, Verschiebungen beschreiben (auch Transformationen genannt), das Globalverhalten verstehen und Nullstellen berechnen. Außerdem brauchst du die binomischen Formeln - die sind dein Werkzeug für viele Aufgaben.
Bei den Nullstellen gibt es drei Hauptmethoden: ablesen vom Graphen, ausklammern mit dem Nullproduktsatz, und die Substitution für kompliziertere Funktionen.
💡 Tipp: Lerne die binomischen Formeln auswendig - sie sparen dir in der Klausur richtig viel Zeit!
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Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition von Potenzfunktionen - zum Beispiel f(x) = 5x⁵ - 3x⁴ + 2x³ + x² - ⅓x + 1,2. Die allgemeine Form ist f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀.
Bei Symmetrieeigenschaften musst du nur auf die Exponenten schauen. Sind alle Exponenten gerade (wie x⁴, x², x⁰), dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sind alle ungerade (wie x³, x¹), dann ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiele: g(x) = x⁴ + 3x² + 7 ist achsensymmetrisch, weil nur gerade Exponenten vorkommen. h(x) = x³ - 3x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil nur ungerade Exponenten da sind.
💡 Merkregel: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch!
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Parameter d verschiebt in y-Richtung: Positiv bedeutet nach oben, negativ nach unten. Beispiel: h(x) = ³ - 40 wird um 2,5 Einheiten nach rechts und 40 Einheiten nach unten verschoben.
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Die Reihenfolge bei Transformationen ist wichtig: Erst Streckung/Stauchung durch Parameter a, dann Verschiebungen durch c und d. Die allgemeine Form ist f(x) = a·f + d.
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Bei f(x) = 3x³ - 9x² - 120x + 5 bestimmt nur 3x³ das Globalverhalten. Für x → ∞ geht f(x) → ∞ (nach oben), für x → -∞ geht f(x) → -∞ (nach unten).
Das liegt daran, dass bei sehr großen x-Werten der höchste Term alle anderen "überstimmt". Die anderen Terme werden im Vergleich winzig klein.
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Erste binomische Formel: ² = a² + 2ab + b². Zweite binomische Formel: ² = a² - 2ab + b². Dritte binomische Formel: = a² - b².
Die dritte Formel ist besonders praktisch: Sie verwandelt ein Produkt in eine Differenz von Quadraten. Beispiel: = x² - 9. Das macht viele Rechnungen viel einfacher!
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Nullstellen findest du mit drei Hauptmethoden. Beim Ausklammern ziehst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer: 2x³ - 4x² - 6x = x. Dann nutzt du den Nullproduktsatz: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
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💡 Wichtig: Doppelte Nullstellen berühren nur die x-Achse, durchstoßen sie aber nicht!
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Erfahren Sie, wie man das Volumen von Rotationskörpern berechnet, einschließlich der allgemeinen Volumensformel und spezifischer Formeln für Kegel und Kugeln. Diese Zusammenfassung behandelt die Zerlegung in Zylinder und die Anwendung des Satzes von Pythagoras zur Bestimmung von Volumina. Ideal für Studierende der Geometrie und Analysis.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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