Stochastik Lernzettel mit Formeln und Beispielen

Vierfeldertafel und Schnittmengen

Vierfeldertafeln helfen dir, komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme übersichtlich darzustellen. Du kannst damit Schnittmengen zweier Merkmale und ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Bei einem Beispiel mit 500 Mäusen (225 männlich, 275 weiblich) tragen wir die Werte für "mit Wirkung" und "ohne Wirkung" in die Vierfeldertafel ein. Die absoluten Häufigkeiten zeigen die konkreten Anzahlen (z.B. 125 männliche Mäuse mit Wirkung), während die relativen Häufigkeiten die Anteile an der Gesamtmenge darstellen $z.B. 125/500 = 0,25$.

Die Prozentangaben kannst du als Wahrscheinlichkeiten interpretieren. Wenn du eine Maus zufällig auswählst, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine männliche Maus mit Wirkung bei 25%.

💡 Tipp: Mit Vierfeldertafeln kannst du auch bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Formel hierfür lautet: P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A)

Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n unabhängigen Versuchen: $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Diese Formel ist besonders nützlich bei Zufallsexperimenten mit nur zwei möglichen Ausgängen ("Erfolg" oder "Misserfolg"). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Binomialverteilung mit den Parametern n und p.

Stell dir vor, du bearbeitest einen Multiple-Choice-Test mit 3 Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Wenn du rein zufällig rätst, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/4. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten berechnest du mit: P$X = 2$ = $\binom{3}{2} (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1$

🧮 Rechentipp: Auf dem Taschenrechner kannst du binomialpdf für einzelne Werte und binomialcdf für kumulative Wahrscheinlichkeiten (bis zu einem Wert x) verwenden.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung kommt zum Einsatz, wenn du ohne Zurücklegen ziehst. Der entscheidende Unterschied zur Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich mit jeder Ziehung.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen lautet: $P(x=k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Ein klassisches Beispiel ist Lotto: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim "6 aus 49" genau 4 Richtige zu haben? Hier berechnest du: $P(\text{"4 Richtige"}) = \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2}}{\binom{49}{6}}$

Die Parameter sind dabei:

• N = Gesamtanzahl der Kugeln (49 beim Lotto)
• M = Anzahl der "Erfolgs-Kugeln" (6 Gewinnzahlen)
• n = Anzahl der gezogenen Kugeln (6 getippte Zahlen)
• k = Anzahl der gewünschten Treffer (4 Richtige)

📊 Wichtig: Für "mindestens k" oder "höchstens k" Erfolge musst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder den komplementären Ansatz nutzen.

Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen

Beim Urnenmodell unterscheiden wir verschiedene Situationen, je nachdem ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Beim Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge legst du nach jeder Ziehung die Kugel zurück, bevor du erneut ziehst. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnet sich mit: $N = n^k$

Dabei ist n die Anzahl der verschiedenen Elemente (z.B. Farben) und k die Anzahl der Ziehungen. Wenn du beispielsweise aus einem Topf mit 3 verschiedenen Smarties-Farben 3-mal ziehst und jedes Mal zurücklegst, gibt es $3^3 = 27$ mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis beträgt dann $P = \frac{1}{n^k}$, da bei Gleichverteilung alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

🎯 Merke dir: Diese Situation tritt häufig bei unabhängigen Wiederholungen eines Experiments auf, wie beim mehrmaligen Würfeln oder Münzwurf.

Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge

Wenn du ohne Zurücklegen mit Reihenfolge ziehst, reduziert sich mit jeder Ziehung die Anzahl der verfügbaren Elemente. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse beträgt dann: $N = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)$

Dies lässt sich auch als $\frac{n!}{(n-k)!}$ schreiben. Beispielsweise gibt es beim 3-maligen Ziehen aus 3 verschiedenen Farben ohne Zurücklegen nur $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ mögliche Ergebnisse.

Ein Sonderfall tritt ein, wenn n = k ist, also wenn du alle Kugeln ziehst. Dann gibt es $n!$ Möglichkeiten (Fakultät). Bei 5 Kugeln wären das $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ verschiedene Reihenfolgen.

💡 Anwendungsbeispiel: Diese Berechnungsweise wird oft bei Permutationen verwendet, z.B. wenn du die Anzahl möglicher Sitzordnungen oder Rangfolgen bestimmen möchtest.

Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge interessiert nur, welche Kugeln du gezogen hast, nicht in welcher Reihenfolge. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse wird mit dem Binomialkoeffizienten berechnet: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Stelle dir das Kinolotto "3 aus 7" vor: Aus 7 Farben werden 3 gezogen. Hier gibt es $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = 35$ mögliche Kombinationen.

Der Binomialkoeffizient (n über k) kann auf deinem Taschenrechner mit der Funktion "nCr" berechnet werden, z.B. 7 nCr 3.

Hier eine Übersicht der verschiedenen Situationen:

• Mit Zurücklegen, mit Reihenfolge: $n^k$
• Ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge: $\frac{n!}{(n-k)!}$
• Ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge: $\binom{n}{k}$

🎲 Wichtig: Diese Situation entspricht den Lotterieziehungen, beim Poker oder anderen Spielen, bei denen Kombinationen gezogen werden, ohne dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Faires Spiel und Erwartungswert

Mit dem Erwartungswert E(X) berechnest du, wie viel du im Durchschnitt bei einem Glücksspiel gewinnst oder verlierst. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert genau 0 ist.

Berechne den Erwartungswert in drei Schritten:

1. Definiere die Zufallsgröße X (z.B. Gewinn in Euro)
2. Berechne alle möglichen Werte xi (Gewinn abzüglich Einsatz)
3. Stelle eine Tabelle auf und berechne E(X) = Summe aller (xi · P$X=xi$)

Beispiel: Bei einem Würfelspiel zahlst du 1€ Einsatz und würfelst 3-mal. Bei einer 6 erhältst du 2€, bei zwei 6ern 3€ und bei drei 6ern 6€. Deine möglichen Werte sind: -1€ (keine 6), 1€ (eine 6), 2€ (zwei 6en) oder 5€ (drei 6en).

Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten berechnest und mit den Werten multiplizierst, erhältst du E(X) = -0,070€. Das bedeutet, du verlierst im Durchschnitt 7 Cent pro Spiel.

💰 Merke dir: Wenn E(X) < 0 ist, verlierst du langfristig Geld. Wenn E(X) > 0 ist, gewinnst du langfristig. Die meisten Glücksspiele sind nicht fair, sondern zum Vorteil des Anbieters konzipiert.

Erwartungswert für verknüpfte Ergebnisse

Manchmal hängt der Wert von mehreren Zufallsgrößen ab. Zum Beispiel beim Wurf von zwei tetraederförmigen Würfeln (mit den Spitzen 0, 1, 2, 3), wobei du das Produkt der beiden Zahlen als Ergebnis betrachtest.

Die Vorgehensweise bleibt ähnlich:

1. Bestimme alle möglichen Ergebnispaare und ihre Wahrscheinlichkeiten
2. Notiere die möglichen Werte xi (hier die Produkte)
3. Erstelle eine Tabelle mit den Werten, ihren Wahrscheinlichkeiten und dem Produkt

Bei zwei 4-seitigen Würfeln gibt es 16 mögliche Kombinationen (4 × 4). Die möglichen Produkte sind: 0, 1, 2, 3, 4, 6 und 9. Wenn du die Produkte mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizierst und alles addierst, erhältst du den Erwartungswert E(X) = 2,25.

Diese Berechnung funktioniert auch für Summen, Differenzen oder andere Verknüpfungen von Zufallsgrößen.

📊 Anwendungsbeispiel: Mit dieser Methode kannst du den durchschnittlichen Gewinn bei komplexeren Spielen berechnen, z.B. wenn dein Gewinn vom Produkt oder der Summe mehrerer Würfelwürfe abhängt.

Erwartungswert – Definition und Berechnung

Der Erwartungswert E(X) ist der Mittelwert einer Zufallsgröße – also der Wert, den die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt. Er wird berechnet, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und dann alle Produkte addierst.

Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:

1. Definiere die Zufallsgröße X und notiere ihre Wahrscheinlichkeiten
2. Erstelle eine Tabelle mit:
   • Werten xi der Zufallsvariablen
   • Deren Wahrscheinlichkeiten P$X=xi$
   • Produkten xi · P$X=xi$
3. Addiere alle Produkte, um E(X) zu erhalten

Beispiel: Ein Würfel hat die Seiten 1, 1, 1, 2, 2, 3. Die Zufallsgröße X nimmt die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 3/6, 2/6 und 1/6 an. Der Erwartungswert beträgt: E(X) = 1 · $3/6$ + 2 · $2/6$ + 3 · $1/6$ = 3/6 + 4/6 + 3/6 = 10/6 ≈ 1,67

🔑 Wichtig: Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuordnet. So können auch nicht-numerische Ergebnisse (wie Farben) mathematisch verarbeitet werden.