Lineare und Quadratische Funktionen: Einfach erklärt mit Beispielen

Wiederholung lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form f$x$ = mx + b. Dabei ist b der y-Achsenabschnitt, also wo die Gerade die y-Achse schneidet. Die Steigung m kannst du mit dem Steigungsdreieck berechnen: m = Δy/Δx.

Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu finden, musst du y = 0 setzen und nach x auflösen. Bei y = 3x + 4 rechnest du so: 0 = 3x + 4, dann -4 = 3x und schließlich x = -1,333... Die Nullstelle liegt also bei $-1,333...|0$.

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung m, aber unterschiedliche b-Werte. Bei senkrechten Geraden multiplizieren sich ihre Steigungen zu -1: m₁ · m₂ = -1. Wenn also y₁ = 3x + 2, dann hat die senkrechte Gerade die Steigung m₂ = -1/3.

💡 Merkhilfe: Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, setze die Funktionsterme gleich und forme um. Denk daran, den gefundenen x-Wert danach in eine der Funktionen einzusetzen, um den y-Wert zu erhalten!

Generelles zu Parabeln

Eine Parabel hat die Grundform f$x$ = ax². Die Normalparabel $wenn a = 1$ ist symmetrisch zur y-Achse und ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung (0|0). Der Parameter a entscheidet über die Form deiner Parabel:

• Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben
• Bei a < 0 öffnet sie sich nach unten

Die Werte von |a| bestimmen, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht wird:

• Wenn 0 < |a| < 1: Die Parabel ist gestaucht (flacher)
• Wenn |a| > 1: Die Parabel ist gestreckt (steiler)

Je näher a an 0 liegt, desto flacher wird die Parabel. Je größer |a| wird, desto steiler wird sie. Bei negativem a passiert dasselbe, nur ist die Parabel dann nach unten geöffnet.

🔍 Visualisierungstipp: Wenn du bei einer Parabel vom Scheitelpunkt aus 1 Einheit nach rechts gehst, musst du |a| Einheiten nach oben gehen. Bei a = 0,5 gehst du 0,5 nach oben, bei a = 2 gehst du 2 nach oben!

Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Parabeln

Parabeln können sich in drei wichtigen Eigenschaften unterscheiden:

• Öffnungsrichtung: Nach oben (a > 0) oder unten (a < 0)
• Streckung/Stauchung: Gestreckt (|a| > 1) oder gestaucht (0 < |a| < 1)
• Position des Scheitelpunkts: Tiefster Punkt (bei a > 0) oder höchster Punkt (bei a < 0)

Um Werte in Parabelfunktionen einzusetzen, gehst du schrittweise vor:

• Bei P(4|b) und f$x$ = 3x²: Setze x = 4 ein → b = 3·4² = 3·16 = 48
• Bei P(b|6) und f$x$ = 3x²: Setze y = 6 ein → 6 = 3·b² → b² = 2 → b = ±√2

Die Nullstellen einer Parabel sind ihre Schnittpunkte mit der x-Achse. Eine Parabel kann 2, 1 oder keine Nullstellen haben, je nachdem, wo sie liegt.

🌟 Profi-Tipp: Wenn du die Funktion zu einem Punkt P$-1|4$ suchst, setze die Koordinaten in die Grundform y = ax² ein: 4 = a·$-1$² → 4 = a·1 → a = 4. Die Funktion lautet also f$x$ = 4x².

Verschiebung von Parabeln

Parabeln kannst du in verschiedene Richtungen verschieben:

• Nach oben/unten: f$x$ = ax² + c

  • Für c > 0: nach oben verschoben
  • Für c < 0: nach unten verschoben

• Nach rechts/links: f$x$ = a$x-d$²

  • Für d > 0: nach rechts verschoben
  • Für d < 0: nach links verschoben

Du kannst Verschiebungen auch kombinieren, wie bei f$x$ = 2$x-2$² + 4. Diese Funktion ist:

• Um 2 Einheiten nach rechts verschoben (wegen x-2)
• Um 4 Einheiten nach oben verschoben (wegen +4)
• Um den Faktor 2 gestreckt (wegen 2 vor der Klammer)

🧩 Entschlüsselungshilfe: Bei einer Funktion wie y = -0,3$x-7$² + 2 musst du schrittweise vorgehen: Sie ist nach unten geöffnet (a < 0), um 0,3 gestaucht, 7 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschoben.