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802
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24. Dez. 2025
•
Finja Wester
@finjawster
Die Vektorgeometrie ist ein zentrales Thema in der Oberstufe, das... Mehr anzeigen
Vektoren sind dein Werkzeug, um Verschiebungen im Raum zu beschreiben. Verschiebungsvektoren berechnet man mit der Formel "Spitze minus Anfang": .
Die Länge eines Vektors findest du mit der Formel . Addition und Linearkombination funktionieren komponentenweise - addiere einfach die entsprechenden Koordinaten.
Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du mit . Für Parallelität prüfst du, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist: .
Merktipp: Das Skalarprodukt ist immer eine Zahl, nie ein Vektor!
Mit dem Skalarprodukt berechnest du Winkel zwischen Vektoren: .
Senkrechte Vektoren erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt null ist: . Einen orthogonalen Vektor findest du mit dem Kreuzprodukt - das ist besonders nützlich für Normalenvektoren.
Bei Lagebeziehungen von Geraden gehst du systematisch vor: Erst prüfst du die Richtungsvektoren auf Kollinearität. Sind sie nicht parallel, machst du eine Punktprobe oder den Schnittpunktansatz.
Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt du die Geradengleichungen gleich: . Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.
GTR-Tipp: Nutze die rref-Funktion deines Taschenrechners - sie bringt Matrizen in die übersichtliche Diagonalform!
Mit der Punktprobe testest du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt: Setze die Koordinaten in die Geradengleichung ein.
Ebenen beschreibst du mit der Parameterform: . Aus drei Punkten bildest du zwei Spannvektoren und wählst einen als Aufpunkt.
Die Punktprobe bei Ebenen funktioniert ähnlich wie bei Geraden: Du setzt den Punkt in die Ebenengleichung ein und erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Parametern.
Bei der Lösung entstehen verschiedene Diagonalformen in deiner Matrix. Eine Nullzeile bedeutet meist, dass das System lösbar ist - aber achte auf Widersprüche in der letzten Spalte.
Systematisches Vorgehen: Stelle immer erst das Gleichungssystem auf, dann nutze rref am GTR für die Lösung.
Die Matrix-Methode ist besonders effizient: Bringe dein Gleichungssystem in Matrixform und verwende die rref-Funktion deines Rechners.
Beim manuellen Lösen von Gleichungssystemen arbeitest du schrittweise: Eliminiere Variablen durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen.
Widersprüche erkennst du, wenn sich unmögliche Gleichungen ergeben wie $-5 = -1,5$. Das bedeutet, der Punkt liegt nicht auf der Ebene oder die Geraden schneiden sich nicht.
Die Probe ist entscheidend: Setze deine gefundenen Parameter zurück in alle ursprünglichen Gleichungen ein. Nur wenn alle stimmen, ist deine Lösung korrekt.
Fehlercheck: Kontrolliere immer alle drei Koordinatengleichungen - eine falsche genügt für ein "liegt nicht auf"!
Konsistente Systeme haben eindeutige Lösungen, während inkonsistente zu Widersprüchen führen.
Flugzeugaufgaben verbinden Geometrie mit Physik. Der Richtungsvektor gibt die Richtung an, aber nicht zwingend die tatsächliche Geschwindigkeit.
Für realistische Geschwindigkeiten hast du zwei Methoden: Den Einheitsvektor verwenden $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ und mit der gewünschten Geschwindigkeit multiplizieren, oder den Richtungsvektor direkt anpassen.
Bei der ersten Methode normierst du den Vektor auf Länge 1 und multiplizierst dann mit 300 km/h. Bei der zweiten Methode skalierst du den Originalvektor so, dass seine Länge der Geschwindigkeit entspricht.
Praxistipp: Die zweite Methode ist oft einfacher - berechne die Vektorlänge und skaliere entsprechend!
Zeitparameter entsprechen dann direkt den Stunden, was die Berechnungen für konkrete Zeitpunkte vereinfacht.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Finja Wester
@finjawster
Die Vektorgeometrie ist ein zentrales Thema in der Oberstufe, das dir die Grundlagen für räumliches Rechnen vermittelt. Mit Vektoren kannst du Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreiben und ihre Beziehungen zueinander analysieren.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erforschen Sie die Lagebeziehungen von Geraden im Raum, einschließlich Parallelität, Schnittpunkte und orthogonale Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Vektorrechnung, der Berechnung von Abständen und der Parametergleichungen für Geraden und Ebenen. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die geometrischen Eigenschaften von Vektoren und deren Anwendung in der analytischen Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen, die Orthogonalität von Vektoren, Winkelbeziehungen sowie die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoroperationen, einschließlich Skalar- und Vektorprodukten, Vektoraddition und -subtraktion sowie deren geometrische Bedeutung im dreidimensionalen Raum. Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Winkeln und die Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich der Berechnung von Abständen, Beträgen und Mittelpunkten. Lernen Sie, wie man Spurpunkte bestimmt, Geraden einzeichnet und Punktproben durchführt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich orthogonaler Vektoren, linearer Kombinationen, kollinearer Vektoren und des Skalarprodukts. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Formeln, um das Verständnis der Vektoroperationen zu vertiefen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Spiegelung, Symmetrie und Abstände in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene, die Bestimmung von Schnittwinkeln zwischen Vektoren und die Anwendung des Vektorprodukts. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der geometrischen Beziehungen vertiefen möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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